1、课后提升作业 十三直线与平面垂直的判定(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.m，n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，下面有四种说法：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.正确，因为n，所以在内有与n平行的直线，又m，则mn；错误，mm，因为mn，则可能n；错误，因为mn，m，则可能n且m；正确，m，得m，因为mn，则n.2.如图所示，如果MC菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DBAC，又
2、MC平面ABCD，所以MCBD.又ACMC=C，所以BD平面ACM.又AM平面AMC，所以BDAM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.【延伸探究】本题若将条件 “菱形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，加上条件“MABD”，判断平行四边形ABCD的形状.【解析】因为MC平面ABCD，BD平面ABCD，所以MCBD，又BDMA，MAMC=M，所以BD平面MAC，又AC平面MAC，所以BDAC，故平行四边形ABCD为菱形.3.(2016南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中，BAC=90，且BC1AC，过点C1作C1H底面ABC，垂足为点H，则点H在(
3、)A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.ABC内部【解析】选B.作C1HAB，因为BAC=90，且BC1AC，所以AC平面ABC1，所以ACC1H，因为ABAC=A，所以C1H平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上.4.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.因为PB，AC，所以PBAC，又ACPC，PBPC=P，所以AC平面PBC，又BC平面PBC，所以ACBC.故ABC为直角三角形.5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1平面ABCD，且底
4、面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.【解析】选A.如图，设AB=a，则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为.因为=，即aah=a22a，解得h=a.所以sin=.6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO平面ABC，OCD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是()A.AC=BCB.VCVDC.ABVCD.SVCDAB=SABCVO【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD，所以VDAB.因为VO平面ABC，AB平面ABC，所以VOAB.又VOVD=V，VO平面VCD，VD平面VCD，所以AB平面V
5、CD，又CD平面VCD，VC平面VCD，所以ABVC，ABCD.又AD=BD，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO平面ABC，所以VV-ABC=SABCVO.因为AB平面VCD，所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD=SVCDBD+SVCDAD=SVCD(BD+AD)=SVCDAB，所以SABCVO=SVCDAB，即SVCDAB=SABCVO.综上知，A，C，D正确.7.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A.ACSBB.AB平面SCDC.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所
6、成的角【解析】选C.因为SD底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以连接BD，则BDAC，又ACSD，可得ACSB，故A正确；因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，故B正确；因为ABCD，所以SCD为AB与SC所成角，SAB为SA与DC所成角，显然SCDSAB，故C不正确.由AC平面SBD，记AC与BD交于O，连接SO，则ASO为SA与平面SBD所成角，CSO为SC与平面SBD所成角，显然ASO=CSO.8.(2016温州高二检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
7、()A.CC1与B1E是异面直线B.AC平面ABB1A1C.AE与B1C1为异面直线，且AEB1C1D.A1C1平面AB1E【解析】选C.A选项，ABC-A1B1C1是三棱柱，则CEB1C1，所以，CEB1C1是一个平面，CC1与B1E共面；B选项，因为AC与AB的夹角是60，所以AC和平面ABB1A1不垂直；C选项，E是BC的中点，则AEBC，又因为BB1平面ABC，所以AEBB1，又BCBB1=B，所以AE平面BCC1B1，所以AEB1C1；D选项，A1C1AC，AC和平面AB1E相交，所以A1C1与平面AB1E不平行.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中
8、，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证ACBC即可.因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可.(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B1=90等)答案：A1C1B1=90(答案不唯一)10.(2016青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为_.【解析】连接A1C1交
9、B1D1于点O，连接BO，因为A1C1B1D1，A1C1BB1，故A1C1平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，所以A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.设正方体棱长为a，则A1B=a，A1O=A1C1=a，所以sinA1BO=，所以A1BO=30.答案：30三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016山东高考)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:ACFB.(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,所以ACDE,ACDB,
10、DEDB=D,又EFDB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC平面EFBD,所以ACFB.(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GIEF,HIBC,又EFDB,所以GIBD,又GIHI=I,BDBC=B,所以,平面GHI平面ABC,因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.12.(2014湖北高考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：(1)直线BC1平面EFPQ.(2)直线AC1平面PQMN.【解题指南】(1)通过证明FPAD1，得到BC1FP，根据线面平行的判定定理即可得证.(2)证明BD平面A
11、CC1，得出BDAC1，进而得MNAC1，同理可证PNAC1，根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1平面PQMN.【证明】(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1=C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNM
12、N=N，所以直线AC1平面PQMN.【能力挑战题】如图，在三棱锥A-BCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.【解题指南】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)分别求出ABM的面积和高CD，继而求出体积.【解析】(1)因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.又因为CDBD，ABBD=B，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD.(2)由AB平面BCD，得ABBD，因为AB=BD=1，所以SABD=.因为M是AD的中点，所以SABM=SABD=.由(1)知，CD平面ABD，所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1，因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=SABMh=.
