1、专题检测（二十四）不等式选讲 大题专攻强化练1(2019昆明市质量检测)已知函数 f(x)|2x1|.(1)解不等式 f(x)f(x1)4；(2)当 x0，xR 时，证明：f(x)f 1x 4.解：(1)不等式 f(x)f(x1)4 等价于|2x1|2x1|4，等价于x12，4x4，解得 x1 或 x1，所以原不等式的解集是(，11，)(2)证明：当 x0，xR 时，f(x)f 1x|2x1|2x1，因为|2x1|2x1 2x2x 2|x|2|x|4，当且仅当（2x1）2x1 0，2|x|2|x|，即 x1 时等号成立，所以 f(x)f 1x 4.2(2019沈阳市质量监测(一)设 ab0，且
2、 ab2，记a2b2ab 的最小值为 M.(1)求 M 的值，并写出此时 a，b 的值；(2)解关于 x 的不等式：|3x3|x2|M.解：(1)因为 ab0，所以 ab0，4ab0，根据基本不等式有a2b2ab（ab）24abab 4ab4，当且仅当ab2，ab2，即a 31，b 31时取等号，所以 M 的值为 4，此时 a 31，b 31.(2)当 x1 时，原不等式等价于(3x3)(2x)4，解得 x54；当1x4，解得12x4，解得 x2.综上所述，原不等式的解集为，54 12，.3已知函数 f(x)|x2|.(1)解不等式 f(x)f(x1)5.(2)若|a|1，且 f(ab)|a|
3、f ba，证明：|b|2.解：(1)不等式 f(x)f(x1)5 等价于|x2|x1|5，当 x2 时，(x2)(x1)5，x4；当 1x2 时，(2x)(x1)5，15，无解；当 x|a|f ba|ab2|a|ba2|ab2|b2a|(ab2)2(b2a)2 a2b24b24a20(a21)(b24)0.因为|a|1，所以 a210，所以 b240，|b|2.4已知 a，b(0，)，且 2a4b2.(1)求2a1b的最小值；(2)若存在 a，b(0，)，使得不等式|x1|2x3|2a1b成立，求实数 x 的取值范围解：(1)由 2a4b2 可知 a2b1，又因为2a1b2a1b(a2b)4b
4、a ab4，由 a，b(0，)可知4ba ab42 4ba ab48，当且仅当 a2b 时取等号，所以2a1b的最小值为 8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x1|2x3|8，x1，1x（32x）8，所以 x43.1x32，x132x8，无解，x32，x12x38，所以 x4.综上，实数 x 的取值范围为，43 4，)5(2019济南市模拟考试)已知函数 f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式 f(x)3 的解集；(2)若不等式 f(x)ax 的解集为空集，求实数 a 的取值范围解：(1)法一：由题意 f(x)3x3，x12，x1，12x2，3x3，x2，当 x12时，f(x)3x33，
5、解得 x0，即 0 x12，当12x2 时，f(x)x13，解得 x2，即12x2，当 x2 时，f(x)3x33，解得 x2，即 x2.综上所述，原不等式的解集为0，2 法二：由题意 f(x)3x3，x12，x1，12xax 对任意 xR 恒成立，即函数 yax 的图象始终在函数 yf(x)的图象的下方，当直线 yax 过点 A(2，3)以及与直线 y3x3 平行时为临界情况，所以3a32，即实数 a 的取值范围为3，32.6(2019广州市调研测试)已知函数 f(x)13|xa|(aR)(1)当 a2 时，解不等式x13 f(x)1；(2)设不等式x13 f(x)x 的解集为 M，若13，
6、12 M，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a2 时，原不等式可化为|3x1|x2|3，当 x13时，13x2x3，解得 x0，所以 x0；当13x2 时，3x12x3，解得 x1，所以 1x2；当 x2 时，3x1x23，解得 x32，所以 x2.综上所述，当 a2 时，不等式的解集为x|x0或x1.(2)不等式x13 f(x)x 可化为|3x1|xa|3x，依题意不等式|3x1|xa|3x 在 x13，12 上恒成立，所以 3x1|xa|3x，即|xa|1，即 a1xa1，所以a113，a112，解得12a43，故实数 a 的取值范围是12，43.7(2019全国卷)设 x，y，zR，且
7、 xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2 的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)213成立，证明：a3 或 a1.解：(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)243，当且仅当 x53，y13，z13时等号成立 所以(x1)2(y1)2(z1)2 的最小值为43.(2)证明：因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(
8、x2)2(y1)2(za)2（2a）23，当且仅当 x4a3，y1a3，z2a23时等号成立 所以(x2)2(y1)2(za)2 的最小值为（2a）23.由题设知（2a）2313，解得 a3 或 a1.8(2019江西省五校协作体试题)已知函数 f(x)|x1|3xa|，若 f(x)的最小值为 1.(1)求实数 a 的值；(2)若 a0，m，n 均为正实数，且满足 mna2，求 m2n2 的最小值解：(1)f(x)|x1|3xa|，当 a3，即1a3时，f(x)4x1a，xa3，2xa1，a3x1，4xa1，x1，f(1)fa3()3a a31 2（a3）30，f(1)fa3，则当 xa3时，f(x)min4a3 1a1，a6.当 a3，即1a3时，f(x)4x1a，x1，2xa1，1xa3，4xa1，xa3，f(1)fa3(3a)a31 2（3a）30，f(1)fa3，则当 xa3时，f(x)min4a3 1a1，a0.当 a3，即1a3时，f(x)4|x1|，当 x1 时，f(x)min0 不满足题意 综上，a0 或 a6.(2)由题意知，mn3.m0，n0，(mn)2m2n22mn(m2n2)(m2n2)2(m2n2)，即 m2n212(mn)2，当且仅当 mn32时取“”m2n292，m2n2 的最小值为92.
