1、专题检测（二十三）坐标系与参数方程 大题专攻强化练1在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 4cos，0，2.(1)求半圆 C 的参数方程；(2)若半圆 C 与圆 D：(x5)2(y 3)2m(m 是常数，m0)相切，试求切点的直角坐标解：(1)半圆 C 的普通方程为(x2)2y24(0y2)，则半圆 C 的参数方程为x22cos t，y2sin t(t 为参数，0t)(2)C，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)，于是直线 CD 的斜率 k 3052 33.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数 t 满足 tan
2、 t 33，t6，所以切点的直角坐标为22cos6，2sin6，即(2 3，1)2(2019全国卷)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2，0)，B2，4，C2，34，D(2，)，弧AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是(1，0)，1，2，(1，)，曲线 M1 是弧AB，曲线 M2 是弧BC ，曲线 M3 是弧CD.(1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程；(2)曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且|OP|3，求 P 的极坐标解：(1)由题设可得，弧AB，BC，CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.所以 M1 的极坐标方程为 2cos 0 4，M
3、2 的极坐标方程为 2sin 4 34，M3 的极坐标方程为 2cos 34 .(2)设 P(，)，由题设及(1)知 若 0 4，则 2cos 3，解得 6；若4 34，则 2sin 3，解得 3 或 23；若34 ，则2cos 3，解得 56.综上，P 的极坐标为3，6 或3，3 或3，23或3，56.3.(2019 福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x 3tcos，yy0tsin(t 为参数，为 l 的倾斜角)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 4sin，直线，3，3(R)与曲线 E 分别交于不同于极点 O
4、的三点 A，B，C.(1)若3 23，求证：|OB|OC|OA|；(2)当 56 时，直线 l 过 B，C 两点，求 y0 与 的值解：(1)证明：依题意，|OA|4sin|，|OB|4sin3，|OC|4sin3，3 23，|OB|OC|4sin3 4sin3 4sin|OA|.(2)当 56 时，直线 3 与曲线 E 的交点 B 的极坐标为2，6，直线 3 与曲线 E 的交点 C 的极坐标为4，2，从而，B，C 两点的直角坐标分别为 B(3，1)，C(0，4)，直线 l 的方程为 y 3x4，y01，23.4(2019江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极
5、点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A(1，)，B2，6，C3，6(1，2，30)都在曲线 M 上(1)求证：3123；(2)若过 B，C 两点的直线的参数方程为x2 32 t，y12t(t 为参数)，求四边形 OBAC 的面积解：(1)证明：由题意得 12cos，22cos6，32cos6，则 232cos6 2cos6 2 3 cos 31.(2)由曲线 M 的极坐标方程得曲线 M 的直角坐标方程为 x2y22x0，将直线 BC 的参数方程代入曲线 M 的直角坐标方程得 t2 3t0，解得 t10，t2 3，在平面直角坐标
6、中，B12，32，C(2，0)，则 21，32，6，1 3.四边形 OBAC 的面积 SSAOBSAOC1212 sin6 1213sin6 3 34.5在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为的直线 l 过点 M(2，4)以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线 C 的极坐标方程为sin22cos.(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且|MA|MB|40，求倾斜角 的值解：(1)因为倾斜角为 的直线过点 M(2，4)，所以直线 l 的参数方程是x2tcos，y4tsin(t 是参
7、数)因为曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos，所以 2sin22cos，所以曲线 C 的直角坐标方程是 y22x.(2)把直线的参数方程代入 y22x，得 t2sin2(2cos 8sin)t200，由题意知，0，设 t1，t2 为方程 t2sin2(2cos 8sin)t200 的两根，则 t1t22cos 8sin sin2，t1t2 20sin2，根据直线参数方程的几何意义知|MA|MB|t1t2|20sin240，故 4 或 34，又(2cos 8sin)280sin20，所以 4.6(2019湖南省五市十校联考)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为xt，yt2(t
8、是参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2cos4.(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)过直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值解：(1)由 2cos4，得 2cos sin，x2y2xy0，即圆 C 的直角坐标方程为x122y12212.(2)设 l 上任意一点 P(t，t2)，过 P 向圆 C 引切线，切点为 Q，连接 PC，CQ，圆 C 的圆心为 C12，12，半径 r 22，|PQ|PC|2|CQ|2 t122t2122222 2（t1）242，即切线长的最小值为 2.7(2019 石家庄市模拟(一)在平面直角坐标系 xOy
9、中，曲线 C 的参数方程为xrcos 2，yrsin(为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为 3.(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)当 0r2 时，若曲线 C 与射线 l 交于 A，B 两点，求 1|OA|1|OB|的取值范围解：(1)由题意知曲线 C 的普通方程为(x2)2y2r2，令 xcos，ysin，化简得 24cos 4r20.(2)法一：把 3 代入曲线 C 的极坐标方程中，得 224r20.令 44(4r2)0，结合 0r2，得 3r24.方程的解 1，2 分别为点 A，B 的极径，122，124r20，1|OA|1|OB|
10、11 12121224r2.3r24，04r21，1|OA|1|OB|(2，)法二：射线 l 的参数方程为x12t，y 32 t(t 为参数，t0)，将其代入曲线 C 的方程(x2)2y2r2 中得，t22t4r20，令 44(4r2)0 结合 0r2，得 3r24，方程的解 t1，t2 分别为点 A，B 对应的参数，t1t22，t1t24r2，t10，t20，1|OA|1|OB|1t11t2t1t2t1t2 24r2.3r24，04r21，1|OA|1|OB|(2，)8(2019洛阳市统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x12t，y2t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x
11、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2413sin2.(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；(2)设曲线 C2 经过伸缩变换x2x，yy 得到曲线 C3，M(x，y)是曲线 C3 上任意一点，求点 M到曲线 C1 的距离的最大值解：(1)根据x12t，y2t 消参可得曲线 C1 的普通方程为 x2y50，2413sin2，232sin24，将xcos，ysin，x2y22代入可得：x24y24.故曲线 C2 的直角坐标方程为x24y21.(2)曲线 C2：x24y21，经过伸缩变换x2x，yy得到曲线 C3 的方程为x216 y21，曲线 C3 的方程为x216y21.设 M(4cos，sin)，根据点到直线的距离公式可得 点M到 曲 线C1 的 距 离d|4cos 2sin 5|12（2）2|2sin 4cos 5|5|2 5 sin（）5|52 5552 5(其中 tan 2)，点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 2 5.
