1、专题检测（二十三）导数与函数的零点问题 大题专攻强化练1(2019济南市模拟考试)已知函数 f(x)a2(x1)2xln x(a0)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 1ae，试判断 f(x)的零点个数解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x1)11x（x1）（ax1）x，令 f(x)0，则 x11，x21a，若 a1，则 f(x)0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数 若 0a1，当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增函数，当 x1，1a 时，f(x)0，f(x)是增函数 若 a1，则 01a0，f(x)是增函数，当 x1a，1 时，f(x)0，f(x)是
2、增函数 综上所述，当 a1 时，f(x)在(0，)上是增函数；当 0a1 时，f(x)在0，1a 上是增函数，在1a，1 上是减函数，在(1，)上是增函数(2)当 1ae 时，f(x)在0，1a 上是增函数，在1a，1 上是减函数，在(1，)上是增函数，所以 f(x)的极小值为 f(1)10，所以 g(a)在(1，e)上是增函数，所以 g(a)g(e)e2 12e21294ln 4ln 4120，所以存在 x0(1，4)，使 f(x0)0，所以当 1a0)，f(1)a10，解得 a1，当 a1 时，f(x)xxln x，即 f(x)ln x，令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得 0
3、 x1，即 m2，当 0 x1 时，f(x)x(1ln x)0 且 x0 时，f(x)0；当 x时，显然 f(x).如图，由图象可知，m10，即 m1，由可得2m1.故实数 m 的取值范围为(2，1)3(2019南昌市第一次模拟测试)已知函数 f(x)ex(ln xaxab)(e 为自然对数的底数)，a，bR，直线 ye2x 是曲线 yf(x)在 x1 处的切线(1)求 a，b 的值(2)是否存在 kZ，使得 yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)exln xax1xb，f(x)的定义域为(0，)由已知，得f（1）e2，f（1）e2
4、，即ebe2，e（ba1）e2，解得 a1，b12.(2)由(1)知，f(x)exln xx32，则 f(x)exln xx1x12，令 g(x)ln xx1x12，则 g(x)x2x1x20，g(2)ln 210，即 f(x)0，当 x(x0，)时，g(x)0，即 f(x)0.所以 f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0)上单调递减 又当 x0 时，f(x)0，f(2)e2ln 212 0，f(e)ee52e 0，所以存在 k0 或 2，使得 yf(x)在(k，k1)上有唯一零点4(2019福州市质量检测)已知函数 f(x)aln xxa1x(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2
5、)当 ea2 e时，关于 x 的方程 f(ax)a1ax 有两个不同的实数解 x1，x2，求证：x1x20，即 a1 时，在(0，1a)上，f(x)0，在(1a，)上，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间是(0，1a)，单调递减区间是(1a，)；当 1a0，即 a1 时，在(0，)上，f(x)0)，当 0 x0，函数 g(x)在区间(0，1)上单调递增；当 x1 时，g(x)0，函数 g(x)在区间(1，)上单调递减 所以 g(x)在 x1 处取得最大值 因为当 ea2 e时，方程 f(ax)a1ax 有两个不同的实数解 x1，x2，所以函数 g(x)有两个不同的零点 x1，x2，一个零点比 1 小，一个零点比 1 大 不妨设 0 x111)，设 h(t)ett(t1)，则 h(t)ettett2et（t1）t20.所以函数 h(t)在区间(1，)上单调递增，h(t)e，所以 x1x2x1x2 1a2ex1x2x1x2 ea2.因为 ea e4e14，则 x1x2x1x214，又 x1x21，所以 x1x24x1x2.
