1、专题检测（二十二）导数与不等式 大题专攻强化练1已知函数 f(x)xex2xaln x，曲线 yf(x)在点 P(1，f(1)处的切线与直线 x2y10 垂直(1)求实数 a 的值；(2)求证：f(x)x22.解：(1)因为 f(x)(x1)ex2ax，所以曲线 yf(x)在点 P(1，f(1)处的切线斜率 kf(1)2e2a.而直线 x2y10 的斜率为12，由题意可得(2e2a)12 1，解得 a2e.(2)证明：由(1)知，f(x)xex2x2eln x.不等式 f(x)x22 可化为 xex2x2eln xx220.设 g(x)xex2x2eln xx22，则 g(x)(x1)ex22
2、ex 2x.记 h(x)(x1)ex22ex 2x(x0)，则 h(x)(x2)ex2ex22，因为 x0，所以 x22，ex1，故(x2)ex2，又2ex20，所以 h(x)(x2)ex2ex220，所以函数 h(x)在(0，)上单调递增 又 h(1)2e22e20，所以当 x(0，1)时，h(x)0，即 g(x)0，即 g(x)0，函数 g(x)单调递增 所以 g(x)g(1)e22eln 112e1，显然 e10，所以 g(x)0，即 xex2x2eln xx22，也就是 f(x)x22.2设函数 f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有极值时，
3、若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2mx2（mx21）x，当 m0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，令 f(x)0，得 0 x mm，令 f(x)mm，f(x)在0，mm 上单调递增，在mm，上单调递减(2)由(1)知，当 f(x)有极值时，m0，且 f(x)在0，mm 上单调递增，在mm，上单调递减 f(x)maxfmm 2ln mm m 1m1ln m，若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，则 f(x)maxm1.即ln mm1，ln mm10)，g(x)11x0，g(x)
4、在(0，)上单调递增，且 g(1)0，0mx211e恒成立解：(1)由题得 f(x)x2（m2）x1mexx（1m）（x1）ex，当 m0，即 1m1 时，f(x)（x1）2ex0，f(x)在 R 上单调递减；当 m0，即 1m1 时，令 f(x)0 得 x1，令 f(x)0 得 1mxg(x)max，由(1)可知，m(1，2)时，f(x)在1，m上单调递减，f(x)minf(m)2m21em，g(x)在1，m上单调递减，g(x)maxg(1)1e，即证2m21em1e，记 h(m)2m21em(1m0 得 1m2 22，令 h(m)0 得2 22m3e1e，即当 x1，x21，m时，f(x1
5、)x211e恒成立4(2019武汉市调研测试)已知函数 f(x)ex1aln(ax)a(a0)(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)ex1ln x1，则 f(x)ex11x，切线的斜率 kf(1)e21，而 f(1)e21，故切线方程为 yf(1)f(1)(x1)，即 y(e21)(e21)(x1)，整理得(e21)xy20.(2)由 f(x)ex1aln xaln aa，得 f(x)ex1axxex1ax，显然 g(x)xex1a 在(0，)上单调递增，又 g
6、(0)a0，则存在 x0(0，a)，使得 g(x0)0，即 x0ex01a，ln aln x0 x01.0 xx0 时，f(x)0，f(x)单调递减，x00，f(x)单调递增，f(x)在 xx0 处取得最小值 f(x0)ex01aln x0aln aa，即 f(x0)ax0aln x0aln aa a1x0ln x0ln a1 a1x0ln x0ln x0 x011 a1x0 x02ln x0.由 f(x)0 恒成立知 f(x0)0，即 a1x0 x02ln x0 0，1x0 x02ln x00.令 h(x)1xx2ln x，则 h(x)1x212x（x1）2x20 得 0 x1，0 x01.又 ax0ex01 在(0，1)上单调递增，0ae2，实数 a 的取值范围为(0，e2)
