1、专题检测（二十五）不等式选讲 大题专攻强化练1(2018全国卷)已知 f(x)|x1|ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0，1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，即 f(x)2，x1，2x，1x1 的解集为xx12.(2)当 x(0，1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0，1)时|ax1|0，则|ax1|1 的解集为x0 x2a，所以2a1，故 0a2.综上，a 的取值范围为(0，22(2019济南市模拟考试)已知函数 f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式 f(x)3 的解集；(2)
2、若不等式 f(x)ax 的解集为空集，求实数 a 的取值范围解：(1)法一：由题意 f(x)3x3，x12，x1，12x2，3x3，x2，当 x12时，f(x)3x33，解得 x0，即 0 x12，当12x2 时，f(x)x13，解得 x2，即12x2，当 x2 时，f(x)3x33，解得 x2，即 x2.综上所述，原不等式的解集为0，2 法二：由题意 f(x)3x3，x 12，x1，12x2，3x3，x2，作出 f(x)的图象如图所示，注意到当 x0 或 x2 时，f(x)3，结合图象，不等式的解集为0，2(2)由(1)可知，f(x)的图象如图所示，不等式 f(x)ax 的解集为空集可转化为
3、 f(x)ax 对任意 xR 恒成立，即函数 yax 的图象始终在函数 yf(x)的图象的下方，当直线 yax 过点 A(2，3)以及与直线 y3x3 平行时为临界情况，所以3a32，即实数 a 的取值范围为3，32.3(2019郑州市第二次质量预测)设函数 f(x)|ax1|xa|(a0)，g(x)x2x.(1)当 a1 时，求不等式 g(x)f(x)的解集；(2)已知 f(x)2 恒成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|2x，x1，2，1x1，2x，x1，当 x1 时，x2x2x，得 x1；当1x1 时，x2x2，即 x1 或 x2，舍去；当 x1 时，x2
4、x2x，得 x3.综上，原不等式的解集为x|x1 或 x3(2)f(x)|ax1|xa|（a1）x1a，x1a，（a1）x1a，1axa，（a1）x1a，xa，当 0a1 时，f(x)minf(a)a212，a1；当 a1 时，f(x)minf 1a a1a2，a1.综上，a 的取值范围为1，)4(2019洛阳市统考)已知 f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若存在 x0R，使得 f(x0)g(x0)成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时原不等式可化为|x1|2|x|1，设(x)|x1|2|x|，则(x)x1，x1，3x1，
5、1x0，x1，x0，则x1，x11或1x0，3x11 或x0，x11，即23x2.原不等式的解集为x23x2.(2)存在 x0R 使得 f(x0)g(x0)成立，等价于|x1|2|x|a 有解，即|x1|2|x|a 有解 即(x)a 有解，即 a(x)max.由(1)可知，(x)在(，0)上单调递增，在0，)上单调递减(x)max(0)1，a1.5(2019福州市质量检测)已知不等式|2x1|2x1|4 的解集为 M.(1)求集合 M；(2)设实数 aM，bM，证明：|ab|1|a|b|.解：(1)法一：当 x12时，不等式化为：2x112x4，即 x1，所以1x12；当12x12时，不等式化
6、为：2x12x14，即 24，所以12x12；当 x12时，不等式化为：2x12x14，即 x1，所以12x1.综上可知，Mx|1x1 法二：设 f(x)|2x1|2x1|，则 f(x)4x，x12，2，12x12，4x，x12，函数 f(x)的图象如图所示，若 f(x)4，由上图可得，1x1.所以 Mx|1x1(2)证明：法一：因为 aM，bM，所以|a|1，|b|1.而|ab|1(|a|b|)|ab|1|a|b|(|a|1)(|b|1)0，所以|ab|1|a|b|.法二：要证|ab|1|a|b|，只需证|a|b|1|a|b|0，只需证(|a|1)(|b|1)0，因为 aM，bM，所以|a|
7、1，|b|1，所以(|a|1)(|b|1)0 成立 所以|ab|1|a|b|成立6(2019合肥市高三模拟)设 f(x)3|x1|x1|的最小值为 k.(1)求实数 k 的值；(2)设 m，nR，m0，m24n2k，求证：1m21n2132.解：(1)f(x)3|x1|x1|4x2，x1，2x4，1x1，4x2，x1，当 x1 时，f(x)取得最小值 k2.(2)证明：依题意，m24n22.1m21n21 1m244n24 1m244n24()m24n24 16 1614n24m2 4m24n244 16(52 4)32.当且仅当4n24m2 4m24n24，即 m22，n20 时，等号成立7
8、(2019江西省五校协作体试题)已知函数 f(x)|x1|3xa|，若 f(x)的最小值为 1.(1)求实数 a 的值；(2)若 a0，m，n 均为正实数，且满足 mna2，求 m2n2 的最小值解：(1)f(x)|x1|3xa|，当 a3，即1a3时，f(x)4x1a，xa3，2xa1，a3x1，4xa1，x1，f(1)f a3(3a)a31 2（a3）30，f(1)f a3，则当 xa3时，f(x)min4a3 1a1，a6.当 a3，即1a3时，f(x)4x1a，x1，2xa1，1x0，f(1)f a3，则当 xa3时，f(x)min4a3 1a1，a0.当 a3，即1a3时，f(x)4
9、|x1|，当 x1 时，f(x)min0 不满足题意 综上，a0 或 a6.(2)由题意知，mn3.m0，n0，(mn)2m2n22mn(m2n2)(m2n2)2(m2n2)，即 m2n212(mn)2，当且仅当 mn32时取“”所以 m2n292，故 m2n2 的最小值为92.8(2019长沙市统一模拟考试)已知函数 f(x)x|xa|，aR.(1)当 f(1)f(1)1 时，求 a 的取值范围；(2)若 a0，x，y(，a，不等式 f(x)y54|ya|恒成立，求 a 的取值范围解：(1)f(1)f(1)|1a|1a|1，若 a1，则 1a1a1，得 21，即 a1；若1a1，得 a12，即1a1，得21，此时不等式无解 综上所述，a 的取值范围是，12.(2)由题意知，要使不等式恒成立，只需 f(x)maxy54|ya|min.当 x(，a时，f(x)x2ax，f(x)maxf a2 a24.因为y54|ya|a54，当且仅当y54(ya)0，即54ya 时等号成立，所以当 y(，a时，y54|ya|mina54 a54.于是a24 a54，解得1a5.又 a0，所以 a 的取值范围是(0，5
