1、专题检测（二十四）坐标系与参数方程 大题专攻强化练1(2019郑州市第一次质量预测)已知曲线 C1：x2(y3)29，A 是曲线 C1 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O逆时针旋转 90得到点 B，设点 B 的轨迹为曲线 C2.(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；(2)射线 56(0)与曲线 C1，C2 分别交于 P，Q 两点，定点 M(4，0)，求MPQ 的面积解：(1)曲线 C1：x2(y3)29，把xcos，ysin 代入可得，曲线 C1 的极坐标方程为 6sin.设 B(，)，则 A，2，则 6sin2 6co
2、s.所以曲线 C2 的极坐标方程为 6cos.(2)M 到直线 56 的距离为 d4sin56 2，射线 56 与曲线 C1 的交点 P3，56，射线 56 与曲线 C2 的交点 Q3 3，56，所以|PQ|3 33，故MPQ 的面积 S12|PQ|d3 33.2(2019湖南省五市十校联考)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为xt，yt2(t 是参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2cos4.(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)过直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值解：(1)由 2cos4，得 2cos sin，x2
3、y2xy0，即圆 C 的直角坐标方程为x122y12212.(2)设 l 上任意一点 P(t，t2)，过 P 向圆 C 引切线，切点为 Q，连接 PC，CQ，圆 C 的圆心为 C12，12，半径 r 22，|PQ|PC|2|CQ|2 t122t2122222 2（t1）242，即切线长的最小值为 2.3(2019 福建五校第二次联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x1 3t，y1t(t 为参数)在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1)求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交
4、于 P，Q 两点，求POQ.解：(1)由x1 3t，y1t得直线 l 的普通方程为 x 3y1 3，又xcos，ysin，所 以 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 (cos 3 sin )1 3或2sin6 1 3.由 2cos 得 22cos，即 x2y22x，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x0.(2)曲线 C 的方程可化为(x1)2y21，表示圆心为 C(1，0)且半径为 1 的圆 由(1)得直线 l 的普通方程为 x 3y(1 3)0，则点 C 到直线 l 的距离 d 32，所以|PQ|2 1d21，所以PCQ 是等边三角形，所以PCQ3，又 O 是圆 C 上的点，所以
5、POQPCQ26.4(2019 蓉城名校第一次联考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x22cos，y22sin (为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cos3 1，M 为曲线 C1 上的动点(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；(2)求点 M 到曲线 C2 的距离 d 的最小值及此时点 M 的坐标解：(1)由题意知，曲线 C1：x22cos，y22sin，化为普通方程，得(x2)2(y2)24；曲线 C2：cos3 1，展开，化简得 cos 3sin 2，又xcos，ysin，所以曲线 C
6、2 的直角坐标方程为 x 3y20.(2)M(22cos，22sin)，则点 M 到曲线 C2 的距离 d|22cos 3（22sin）22|4cos3 42 3|22cos3 2 3，所以当 cos3 1，即 23 时，d 取得最小值，dmin 3.此时 M(1，2 3)5(2019昆明市诊断测试)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x3cos t，ysin t(t为参数)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 6(R)(1)求曲线 C1 的极坐标方程；(2)若曲线 C2 的极坐标方程为 8cos 0，直线 l 与曲线 C1 在第一象限的交
7、点为 A，与曲线 C2 的交点为 B(异于原点)，求|AB|.解：(1)消去参数 t 得曲线 C1 的普通方程为 x29y29，故曲线 C1 的极坐标方程为 282sin290.(2)因为 A，B 两点在直线 l 上，所以可设 A1，6，B2，6.把点 A 的极坐标代入 C1 的极坐标方程得，21821sin26 90，解得 1 3.已知 A 点在第一象限，所以 1 3.因为 B 异于原点，所以把点 B 的极坐标代入 C2 的极坐标方程得，28cos6 0，解得 24 3.所以|AB|12|34 3|5 3.6(2019合肥市高三质检)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos
8、，y2sin(为参数，0，)在以直角坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E 的方程为 2(13sin2)4.(1)求曲线 C 的普通方程和曲线 E 的直角坐标方程；(2)若直线 l：xt 分别与曲线 C，曲线 E 交于点 A，B，求AOB 面积的最大值解：(1)消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2y24(y0)，由2x2y2，ysin 得曲线 E 的直角坐标方程为x24y21.(2)设 A(2cos，2sin)，0，要使AOB 的面积最大，则 B(2cos，sin)SAOB12|AB|xB|123sin|2cos|32|sin 2|.0，20，2，当 4 或34 时，A
9、OB 的面积取得最大值32.7(2019广东六校第一次联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x 55 t，y2 55 t(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 2sin4 1.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程，并指明曲线 C 的形状；(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|OA|OB|，求 1|OA|1|OB|.解：(1)由x 55 ty2 55 t(t 为参数)消去参数 t，得 y2x.由 22 2sin4 1，得 22cos 2sin 10，所以曲
10、线 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21.直线 l 的普通方程为 y2x，曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)21，曲线 C 表示以(1，1)为圆心，1 为半径的圆(2)将 x 55 t，y2 55 t 代入 x2y22x2y10，得 t26 55 t10，设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t26 55 0，t1t210，t10，t20.|OA|OB|，1|OA|1|OB|0，1|OA|1|OB|1t11t2t2t1t1t2 （t1t2）24t1t2t1t26 5524114 55.8(2019郑州市高三第三次质量预测)在平面直角坐标系
11、 xOy 中，直线 l 的参数方程为x2t，y1t(t 为参数)，曲线 C1：y1x2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4 2sin4.(1)若直线 l 与 x，y 轴的交点分别为 A，B，点 P 在 C1 上，求BABP的取值范围；(2)若直线 l 与 C2 交于 M，N 两点，点 Q 的直角坐标为(2，1)，求|QM|QN|的值解：(1)由题意可知，直线 l 的普通方程为 xy10，A(1，0)，B(0，1)，C1 的方程可化为 x2y21(y0)，设点 P 的坐标为(cos，sin)，0，BABPcos sin 1 2sin4 10，21(2)由 4 2sin4 及 xcos，ysin 得曲线 C2 的直角坐标方程为(x2)2(y2)28，直线 l 的标准参数方程为x2 22 m，y1 22 m(m 为参数)，代入 C2 得 m2 2m70，设 M，N 两点对应的参数分别为 m1，m2，则 m1m2 2，m1m270，故 m1，m2 异号，|QM|QN|m1|m2|m1m2|2.
