1、1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（ ）A.0 B.1 C.不存在 D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx的导数为（ ）A.sinx B.cosx C.-cosx D.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（ ）A.3 B.-4 C.-1 D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_.解析：y=x-4x2+4x-1=-4x2+5x-1
2、.y=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.y=的导数是（ ）A.3x2 B.13x2 C. D.答案：D解析：y=，y=()=.2.y=cosx在x=处切线的斜率为（ ）A. B. C.-12 D.12答案：C解析：y=-sin=.3.函数y=sinxcosx的导数是（ ）A.sin2x B.cos2x C.sin2x D.cos2x答案：D解析：y=(sinxcosx)=(sinx)cosx+sinx(cosx)=cos2x-sin2x=cos2x.4.函数y=x2cosx的导数为_.解析：y=(x2cosx)=(x2)cosx+x2（cosx）=2xcos
3、x-x2sinx.答案：2xcosx-x2sinx5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_.解析：将ex求导知(ex)=ex.设切点坐标为(x0,),则过该切点的直线的斜率为.直线方程为y-=(x-x0).y-=x-x0.直线过原点,(0,0)符合上述方程.x0=.x0=1.切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x4-3x2-5x+6;(2)y=xtanx;(3)y=;(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y=(x4-3x2-5x+6)=(x4)-3(x2)-5x+6=4x3-6x-5.(2)y=(xtanx)=(
4、)=.(3)解法一：y=()=.解法二：y=1,y=(1)=()=.(4)解法一：y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.解法二：y=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y|t=6等于（ ）A.1 B.-1 C.0 D.cost答案：A解析：y|t=6=cos6=1.2.曲线y=2x3-6x上切线
5、平行于x轴的点的坐标是（ ）A.（-1，4） B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4） D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y=(2x3-6x)=6x2-6,由y=0,得x=1或x=-1.代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1)C.(-1,0) D.(1,4)答案：A4.设y=-2exsinx,则y等于( )A.-2excosx B.-2exsinx C.2exsinx D.-2ex(sinx+co
6、sx)答案：D解析：y=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100),则f(0)等于( )A.100 B.0C.1009998321 D.1答案：C解析：f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100),f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)+x(x-1)(x-2)(x-100).f(0)=(-1)(-2)(-100)=1009998321.6.曲线y=x3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=_.解析：y=x3,y=3x2.y=x3在(a,a3)点的切线斜率k为3a2.切
7、线方程为y-a3=3a2(x-a),y=3a2x-2a3.令3a2x-2a3=0,得x=a,即y=3a2x-2a3与x轴交点横坐标为a.令x=a,得y=3a2a-2a3=a3,即y=3a2x-2a3与x=a交点纵坐标为a3.S=(aa)a3=.a=1.答案：17.已知直线l是曲线y=x3+x的切线中倾斜角最小的切线，则l的方程是_.解析：y=x2+11，过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.直线l的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f(x)=g(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(
8、x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有由f(x)=g(x),得2x+a=2x+c,a=c.由f(5)=30,得25+5a+b=30.由可得a=c=2.由得b=-5,再由得d=.g(x)=x2+2x.故g(4)=16+8=.9.设直线l1与曲线y=相切于P,直线l2过P且垂直于l1,若l2交x轴于Q点,又作PK垂直于x轴于K,求KQ的长.解：先确定l2的斜率,再写出方程,设P(x0,y0),则=y| x=x0=.由l2和l1垂直,故=-2,于是l2:y-y0=-2(x-x0),令y=0,则-y0=-2(xQ-x0),即-=-2(xQ-x0).解得xQ=+x0
9、.易得xK=x0.|KQ|=|xQ-xK|=.10.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12. 函数y=-x2+a的导数y=-2x,曲线C2在点Q(x2,-x22+a
10、)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a. 如果直线l是过P和Q的公切线,则式和式都是l的方程，消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0,此方程=4-42(1+a). 由=0,得a=,解得x1=,此时P与Q重合,即当a=时,C1和C2有且仅有一条公切线.由得公切线方程为y=x-.(2)证明:由(1)可知当a时,C1和C2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a,线段PQ的中点为(,).同理,另一条公切线段PQ的中点也是(,),所以公切线段PQ和PQ互相平分.
