1、2.2 不等式 微专题2 不等式恒成立、能成立问题 第二章 等式与不等式 类型 1 数形结合法解决恒成立问题【例 1】当 1x2 时，不等式 x2mx40 恒成立，求 m的取值范围解 令 yx2mx4.y0 在1,2上恒成立，x2mx40 的根一个小于 1，另一个大于 2.如图，得1m40，42m40，即m50，2m80，解得 m5.m 的取值范围是(，5)结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置相对于 x 轴关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.跟进训练1(1)已知不等式 kx22kx(k2)0 恒成立，求实数 k 的取值范围；(2)若不等式x
2、22x3a23a 对任意实数 x 恒成立，求实数a 的取值范围解(1)当 k0 时，原不等式化为20，显然符合题意 当 k0 时，令 ykx22kx(k2)，y0 恒成立，其图像都在 x 轴的下方，即开口向下，且与 x 轴无交点 k0，4k24kk20，解得1k0.综上，实数 k 的取值范围是(1,0(2)原不等式可化为 x22xa23a30，该不等式对任意实数 x 恒成立，0，即 44(a23a3)0，即 a23a40，解得 a1 或 a4，实数 a 的取值范围是(，14，)类型 2 分离参数法解决恒成立问题【例 2】设函数 ymx2mx1，x1,3，若 ym5 恒成立，求 m 的取值范围解
3、 ym5 恒成立，即 m(x2x1)60 恒成立，x2x1x122340，又 m(x2x1)60，m6x2x1.y6x2x16x12234在 1x3 上的最小值为67，只需 m67即可 m 的取值范围为，67.通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.跟进训练2已知函数 yx22xax对于任意 x1 且 y0 恒成立，求实数 a 的取值范围解 x1 时，yx22xax0 恒成立，等价于 x22xa0恒成立，即 a(x22x)恒成立，即 a(x22x)max.令 y1(x22x)，则当 x1 时，y1(x22x)(x22x1)1(x1)213.实数 a 的取值范围为a|a3 类型 3
4、转换主元解决恒成立问题【例 3】已知 a1,1时不等式 x2(a4)x42a0 恒成立，求 x 的取值范围解 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 y(x2)ax24x4，则由 y0 对于任意的 a1,1恒成立，将 a1 和 a1 代入，解不等式组 x25x60，x23x20，得 x1 或 x3.x 的取值范围是(，1)(3，)转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.跟进训练3对于满足 0p4 的一切实数，不等式 x2px4xp3 恒成立，试求 x 的取值范围解 不等式 x2px4xp3 恒成立，即(x1)p(x24x3)0，设 y(x1)
5、p(x24x3)是以 p 为自变量的一次函数，则0p4 时 y0 恒成立，即x10 x24x30，4x1x24x30，解得 x3 或 x1 x 的取值范围是x|x3 或 x1 类型 4 转化为函数的最值解决能成立问题【例 4】若存在 xR，使得 4xmx22x32 成立，求实数 m 的取值范围解 x22x3(x1)220，4xm2(x22x3)能成立，m2x28x6 能成立，令 y2x28x62(x2)222，m2，m 的取值范围为2，)能成立问题可以转化为 mymin 或 mymax 的形式，求出 y 的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.跟进训练4已知函数 y|2x1|x|.(1)求不等式 y0 的解集；(2)若存在 xR，使得 ym 成立，求实数 m 的取值范围解(1)由 y0，得|2x1|x|，两边同时平方，得 3x24x10，解得 x1 或 x13.故原不等式的解集为 xx1或x13.(2)存在 xR，使得 ym 成立，故 mymin.当 x12，yx1；当12x0，y3x1；当 x0，yx1 当 x12时，y 取得最小值为12.m12，即 m 的取值范围为12，.点击右图进入 微 专 题 强 化 练 谢谢观看 THANK YOU!
