1、北京市延庆县2013届高三一模统考数学（文科） 2013年3月本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟第卷（选择题） 一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=A. B. C. D. 2命题“”的否定是A B C D3. 已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为 A3或 B3或 C D4.已知函数，则A. B. C. D.5. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为A.B. C. D. 6.已知直线，则“”是“”A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件 D. 既不
2、充分也不必要条件7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（7题图） A B. C D. 8.已知函数的两个零点为，则实数的大小关系是A. B. C. D.第卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知，向量与的夹角为，则 .10. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，其中，则 .11. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的 .12.在中，依次是角的对边，且.若，则角 .13. 设满足约束条件 ，若，则的取值范围是 .14. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件：（1），其中为正整数；（2）.则 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文
3、字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知.（）求的最小正周期和单调递增区间；（）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值16.（本小题满分14分） 如图，四棱锥的底面为菱形，底面，为的中点.()求证：平面；（）求三棱锥的体积；（）在侧棱上是否存在一点，满足平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由.17. （本小题满分13分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示（）分别求出的值；（）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?（）在（）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中
4、随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率18. （本小题满分13分）已知函数.()当时，求曲线在点的切线方程；（）讨论函数的单调性.19. （本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交椭圆于两点，且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点（点在点之间）.() 求椭圆的方程；（）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.20. （本小题满分13分）是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：(1)对任意，都有 ；(2)存在常数，使得对任意的，都有.
5、()设，证明：；()设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的.高三数学（文科答案） 2013年3月一、选择题：D D C B B A D A二、填空题：9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：15. （本小题满分13分）解：（） 4分 ，最小正周期为. 5分 由，得 6分 7分 8分单调递增区间为. 9分（）当时， 10分在区间单调递增， 11分，对应的的取值为. 13分 16.（本小题满分14分）()证明：设、相交于点，连结，底面为菱形，为的中点，又为的中点，. 3分又平面，平面，平面. 5分（）解：因为底面为菱形，所以是边长为正三角形，又因为底面，所以为三棱锥的高，. 8分
6、（）解：因为底面，所以，又底面为菱形，平面，平面，平面，. 10分在内，易求，在平面内，作，垂足为，设，则有，解得. 12分连结，平面，平面，平面.所以满足条件的点存在，此时的长为. 14分17. （本小题满分13分）解：（）第1组人数， 所以， 1分 第2组人数，所以， 2分 第3组人数，所以， 3分 第4组人数，所以 4分 第5组人数，所以. 5分（）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，人. 8分（）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，. 10分其中第2组至少有1人的情
7、况有9种，它们是： ，. 12分故所求概率为. 13分18. （本小题满分13分）解：函数的定义域为，. 2分() 当时，所以曲线在点的切线方程为. 5分（）， 6分（1）当时，在定义域为上单调递增，7分（2）当时，令，得（舍去），当变化时，的变化情况如下：此时，在区间单调递减，在区间上单调递增； 10分（3）当时，令，得，（舍去），当变化时，的变化情况如下：此时，在区间单调递减，在区间上单调递增.13分19. （本小题满分14分） 解：()设椭圆的方程为，离心率，的周长为， 1分解得，则， 2分所以椭圆的方程为. 3分（）直线的方程为，由，消去并整理得（*）5分，解得， 6分设椭圆的弦的中点为，则“在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点，使得”. 8分设，由韦达定理得，9分所以， 10分，所以，解得.12分，所以，函数在定义域单调递增，所以满足条件的点存在，的取值范围为. 14分20. （本小题满分13分）解：()对任意，所以对任意的，所以0，令，所以. 8分()反证法:设存在两个使得，则由，得，所以，矛盾，故结论成立. 13分
