1、丰台区2019届高三上学期期末考试试题 数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分） 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合，那么（A）（B）（C）（D）答案：B考点：集合的运算。解析：取集合A，B的公共部分即可，所以，2若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（A）3（B）（C）（D）答案：D考点：复数的概念及其运算。解析：，实部与虚部互为相反数，所以，0，解得：3执行如图所示的程序框图，输出的的值为（A）（B）（C）（D）答案：B考点：程序框图。解析：第1步：S，k14，kk+12第2步：S，k24，kk+13第3
2、步：S，k34，kk+14第4步：S，k44，否，退出循环，所以，S。4已知等差数列中，.若，则数列的前5项和等于（A）30（B）45（C）90（D）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n项和。解析：公差d633，数列是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S905某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A）2（B）（C）（D）答案：D考点：三视图。解析：该几何体可以看成是棱长为2正方体截出来的，如下图所示，BD2最长的棱为PD6设，是非零向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件答案：A考点：
3、充分必要条件。解析：由a2ab，得a2ab0，即a（ab）0，所以，a（ab）或ab，所以，充分性成立，必要性不成立，是充分不必要条件。7一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）答案：D考点：双曲线的概念与性质。解析：O、A是固定点，M是动点，MOMA（OBMB）（8MB）4所以，2a4，a2，又2c10，c5，所以，离心率为：e8如图，在棱长为2的正方
4、体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为（A）（B）1（C）（D）答案：C考点：线面平行，面面平行。解析：平面EFG截正方体的截面为EFGHIJ，如下图所示，因为直线与平面不存在公共点，所以，D1P平面EFGHIJ，易证：平面ACD1平面EFGHIJ，三角形的面积S，BB1的长度为2，是一定值，所以，当PB最短时，S最小，显然当P与AC中点O重合时，PB最短，三角形的面积的最小值为S第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为_答案： 考点：极坐标方程与普通方程的互化，两点之间
5、的距离公式。解析：圆方程为：，化为普通方程：，即：，圆心为（0,1）所以，（0,1）与（1,0）两点之间的距离为：10展开式中的系数为_答案：40考点：二项式定理。解析：，令r3，得系数为：40，11能够说明“设是任意非零实数若，则”是假命题的一组整数的值依次为_ 答案：满足且即可考点：命题真假的判断。解析：答案不唯一，如b.4，a2，满足，但ba。12若满足 则的最大值为_答案：1考点：线性规划。解析：不等式所示的平面区域如下图所示，当目标函数经过点A（1，0）时取得最大值为1。13动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的
6、函数的值域为_ 答案： 考点：圆的标准方程，函数的值域，三角函数。解析：设平面直角坐标系的原点为O，OA与x轴正方向的夹角为，因为t=0时，点A如下图，可知AOB，12秒旋转一周，每1秒旋转，当时，动点A的纵坐标为：ysin，由，得，所以，值域为：14已知函数 若，则函数的零点有_个； 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是_ 答案：2；且考点：函数的零点，函数的导数及其应用。解析： 当时，0时，由0，得：x0或，由2x0（x0）无解，所以，有2个零点。函数当时，0，得x1x1时，y有极小值为2，x1时，y有极大值为2，函数图象如下图：函数总有三个不同的零点，即有3个交点，
7、a1时，与有3个交点1a0时，与有2个交点，与y2x有1个交点，综上，且三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15（本小题13分）在中，角的对边分别为，.（）求的值；（）求的面积.16（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值17（本小题13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型智能及
8、高端装备消费电子及家电汽车服装服饰及日用消费品食品及农产品医疗器械及医药保健服务贸易展区的企业数(家)40060706501670300450备受关注百分比2520102318824备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值（）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；（ii）假设表格中7个展区的
9、备受关注百分比均提升10.记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量的均值和的大小.（只需写出结论）18（本小题14分）已知椭圆C:的右焦点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同两点，直线分别交轴于两点.（）求椭圆C的方程；（）求证：.19（本小题13分）设函数（）当时，求证：；（）如果恒成立，求实数的最小值20（本小题13分）将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.（）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：，数列是公差为2的等差数列，数列是公比为的等比数列；（）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序
10、排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.高三数学（理科）参考答案及评分参考 201901一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BDBCDADC二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9 10 11 满足且即可121 13 142；且三、解答题（共6小题，共80分）15.（共13分）解：（）在中，因为，由余弦定理， .2分可得， .4分所以，或（舍） .6分 （）因为，所以.所以的面积. .13分 16.（共14分）解：（）因为底面，底面，所以，正方形中，又因为， 所以平面，因为平面，所以
11、.4分（）正方形中，侧棱底面.如图建立空间直角坐标系，不妨设.依题意，则，所以.设平面的法向量， 因为，所以.令，得，即， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 11分（）由（）知平面，所以为平面的法向量，因为， 且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 14分17（共13分）解：（）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,所以. 4分（）消费电子及家电备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家.的可能取值为0，1，2.；
12、所以随机变量的分布列为：01211分（） 13分 18.（共14分）解：（）由题意得解得 所以椭圆C的方程为 5分（）设.由 得 依题意，即.则 8分因为 .所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即.因为，所以. 14分19（共13分）解：（）因为，所以 . 当时，恒成立，所以 在区间上单调递增， 所以. . . .5分（）因为，所以. 当时，由（）知，对恒成立； 当时，因为，所以.因此在区间上单调递增，所以对恒成立； 当时，令，则，因为，所以恒成立，因此在区间上单调递增， 且，所以存在唯一使得，即.所以任意时，所以在上单调递减.所以，不合题意. . . .12分综上可知，的最小值为1. . . .13分20（共13分）解：（）（答案不唯一）. . . .4分（）数阵具有性质A.只需证明，对于任意的，都有，其中.下面用反证明法证明：假设存在，则都大于，即在第列中，至少有个数大于，且.根据题意，对于每一个，都至少存在一个，使得，即在第列中，至少有个数小于.所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵具有性质A. . . .13分（若用其他方法解题，请酌情给分）
