1、2020北京人大附中高三考前热身练习 数 学 2020.6本试卷共4页满分150分,考试时长120分钟考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上,在试卷上作答无效一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1已知集合()A. B. C. D. 2复数的模为( )A1B2CD3若,则不等式等价于( )A. B.C.D.4某几何体的主视图和左视图如右上图所示,则它的俯视图不可能是( )5公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金
2、开始超过200万元的年份是( )(参考数据:)A2020年B2021年C2022年D2023年6.为非零向量,为“”“为共线”的A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7已知函数(其中)的最小值为1,则( )A. 1B. C. D. 8.已知函数,若函数在区间内没有零点,则的最大值为A. B. C. D. 9.已知不过坐标原点的直线交抛物线于两点,若直线的斜率分别为2和6,则直线的斜率为()A.3B.2C.-2D.-310.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元,占全球GDP的16.0%;人口总数约为32.1亿,占全球总人口的43.4%;
3、对外贸易总额(进口额+出口额)约为71885.6亿美元,占全球贸易总额的21.7%.2016年“一带一路”沿线国家情况人口(万人)GDP(亿美元)进口额(亿美元)出口额(亿美元)蒙古301.4116.538.745.0东南亚11国63852.525802.211267.211798.6南亚8国174499.029146.64724.13308.5中亚5国6946.72254.7422.7590.7西亚、北非19国43504.636467.59675.58850.7东欧20国32161.926352.19775.511388.4关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况,能够从上述资料中推出的是
4、()A超过六成人口集中在南亚地区B东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上C平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元D平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)11在的展开式中,的系数为_(用数字作答)12双曲线的离心率为,双曲线与双曲线有共同的渐近线,且过点,则双曲线的方程为 13.锐角三角形中,若,则的取值范围是.14.已知非零向量满足,则实数的值为15.已知函数,(1)的零点是;(2)若的图象与直线有且只有三个公共点,则实数的取值范围是_.三、解答题(共5小题,共85分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)16.(本题满
5、分14分)设函数,其中.已知.()求;()将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象。求在上的最小值.17.(本题满分14分)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表套数人数性别12345男生14322女生01331()从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率?()若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变量的分布列和数学期望;()试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小(只需写出结论)18.(本题满分
6、14分)平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直,,且为的中点. ()求证:平面;()求证:;()若直线上存在点,使得所成角的余弦值为,求与平面所成角的大小.19.(本题满分15分)已知椭圆的离心率为过的左焦点做轴的垂线交椭圆于两点,且()求椭圆的标准方程及长轴长;()椭圆的短轴的上下端点分别为,点,满足,且,若直线分别与椭圆交于两点,且面积是面积的5倍,求的值.20.(本题满分14分)已知函数.()求函数的单调区间;()若对任意,都有成立,求实数的最小值.21.(本题满分14分)若无穷数列满足:是正实数,当时,则称是“Y数列”.()若是“Y数列”且,写出的所有可能值;()设是“Y数列”,
7、证明:是等差数列当且仅当单调递减;是等比数列当且仅当单调递增;()若是“Y数列”且是周期数列(即存在正整数,使得对任意正整数,都有),求集合的元素个数的所有可能值的个数.2020北京人大附中高三考前热身练习数学参考答案1.解析:故,选B2.解析:法一:法二:选择A3.解析:令,移项分式不等式,可求得或,符合的只有一个,选D.4.解析:对于A,可以是圆锥;对于B,可以是中间提点,对于C,中间提点,选D.5. 解析:即选C6. 解析:因为,即同向,故选B.7.解析:令,变形得,若结果不含,只能令选A8.解析:, 首先排除 D;剩下 3个选项从大到小代入,当时,符合题意,选C9.解析:令,则,联立得
8、选D10.解析:估算对于A,估算,故A错误;对于B,估算错误;对于C,正确;对于D,D错误.故选C二、填空题11.解析:,故系数为.12.解析:,离心率因为共渐近线,故令将代入,解得故13.解析:因为锐角三角形,即故即取值范围为.14.解析:15.解析:海淀查漏补缺题.零点不是点,是横坐标.(1)时,时, ,故的零点是;(2)数形结合,直线过定点,实数的取值范围是.三、解答题(共 5小题,共 85分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)16.(本题满分 14 分)解:(I)因为所以2分4分由题设知所以6分故所以7分(II)由(I)得,所以,10分因为,所以11分当即时,取得最小值13分17.
9、解析:()设事件A:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4由题意可知,4分()完成套卷数不少于4 本的学生共8 人,其中男学生人数为 4 人,故 X 的取值为 0,1, 2,3, 4 5 分由题意可得8分所以随机变量X的分布列为:X01234P9分随机变量X的均值11分(III)13分18.解析:(1)解法1:取AF的中点Q,连结,在直角梯形中,,所以四边形为平行四边形,1分所以,在中,所以,2分又因为,所以平面平面,3分又平面,所以平面4分解法2取中点,连结,在中,所以,且又所以,所以四边形为平行四边形所以,因为平面,平面,所以平面.(2)在中,所以,所以
10、,所以,5分又平面平面,平面平面平面,所以平面,7分因为平面,所以8分(3)由(1)(2)以A为原点,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,9分所以所以所以设所以所以所以所以10分所以11分设平面的法向量为所以所以令12分如与平面成的角为,所以13分所以即与面成的角为14分19. 解析:()因为椭圆C 的左焦点横坐标为-c ,由2分故解得:所以,椭圆 C 的标准方程为:4分长轴长为 4. 5 分 (II)直线的斜率为直线BM斜率为直线的方程为,直线BM的方程为7分由由9分即11分又13分整理方程得:,解得:.14分20.解析:(I)由解得.2分则的情况如下:X2-0+极小值所以函数的单增区间为,单
11、减区间为;6分()当时,当时,8分若,由()可知的最小值为,的最大值为,10分所以“对任意,有恒成立”等价于“” 12分即解得.所以的最小值为1.13 分21.解析:()-2,0,2,84分()证明:因为,所以或.是等差数列时,假设,则.此时,而,矛盾!所以.于是公差,所以单调递减5分当单调递减时,对任意,.又,所以,从而是等差数列6分当是等比数列时,所以,于是公比.又,所以单调递增.7分当单调递增时,对任意,所以,即.因为,所以是等比数列8分()解:先证明是数列中的最大项.事实上,如果i是第一个大于的项的脚标,则由知,是的倍数.假设都是的倍数,则由知,也是的倍数.所以由归纳法知,对任意都是的倍数.但不是的倍数,这与是周期数列矛盾!所以是数列中的最大项,从而当时,.9分再证明当是奇数时,是的奇数倍;当是偶数时,是的偶数倍事实上,当时结论成立,假设时成立,当时,由知,结论也成立10分所以,若的值只可能为奇数,所以集合的元素个数最多有1009个。下证集合的元素个数可以是11009的所有整数。事实上,对于,可取数列为:也即:所有的奇数项均等于,所有的偶数项均等于0,此时,数列为Y数列,且11分对于任意整数构造数列的前2018项如下:由于数列是无穷数列,故可取,显然满足数列是Y数列。12分综上,集合的元素个数的所有可能值的个数为1009. 13分