1、2020-2021学年度上学期高三期中考试试题（数学）一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.集合A=x|2lg x0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3 D.45知f(x)=(3a-1)x+4a,x1,logax,x1是(-,+)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.0,13 C.17,13D.17,16已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a=()A.4或-3 B.4或-11 C.4D.-37知函数f(x)是定义
2、在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有ff(x)-ex=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)=()A.1B.e+1C.e+3D.38. 若0x1x2ln x2-ln x1 B.ex2-ex1x1ex2 D.x2ex2b,则下列不等式不一定成立的是()A.1ab2 C.ac2+1bc2+1D.a|c|b|c|10 a0,b0,则下列不等式中一定成立的是()A.a+b+1ab22 B.2aba+babC.a2+b2aba+bD.(a+b)1a+1b411.已知函数y=fx是R上的奇函数,对任意xR,都有f2-x=fx+f2成立,当x1,x20,1,且x1x2时,都有fx1-fx2x1-
3、x20,则下列结论正确的有()A.f1+f2+f3+f2 019=0B.直线x=-5是函数y=fx图象的一条对称轴C.函数y=fx在-7,7上有5个零点D.函数y=fx在-7,-5上为减函数12函数fx=x2+x-1ex,则下列结论正确的是()A.函数fx存在两个不同的零点B.函数fx既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时,方程fx=k有且只有两个实根D.若xt,+时,fxmax=5e2,则t的最小值为2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.一题两空的，第一个空2分，第二个空3分请把正确答案填在题中横线上)13.已知幂函数f(x)=xa的图象过点2,22,则f(x)的定义域为_.
4、14义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)2(a0且a1)的值域为4,+),则f(1)=_;实数a的取值范围为_.16.若函数f(x)=x2ex-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是_.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）已知A=x|-1x3,B=x|mx1+3m. (1)当m=1时,求AB.(2)若BRA,求实数m的取值范围.18（12）已知函数f(x)=2|x-2|+ax(xR)有最小值 (1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x0). (1)若g(x)=m有零点,求m
5、的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.22（12分）设函数fx=x-1ex+a2e-ex,(1)求fx的单调区间;(2)若不等式fx0对x2,+恒成立,求整数a的最大值.2020-2021学年度上学期高三期中考试试题（数学）二、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分) 1.集合A=x|2lg x1,B=x|x2-90,则AB=()A.-3,3B.(0,10) C.(0.3D.-3,10)【解析】选C.因为集合A=x|2lg x1=x|0x10,B=x
6、|x2-90=x|-3x3,所以AB=x|00,2x+10,解得-12x2,即函数的定义域为-12,2.3设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4 C.6 D.8【解析】选C.由x1时,函数f(x)为一次函数,得0a0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3 D.4【解析】选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,所以0是函数f(x)的一个零点;当x0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3,分别画出函数y=ex和y=-x+3的图象,如图所示, 有一个交点,所以函数f(x)有一个零点,又根据对称性知,当x0时函数
7、f(x)也有一个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3个.5知f(x)=(3a-1)x+4a,x1,logax,x1是(-,+)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.0,13 C.17,13D.17,1【解析】选C.因为f(x)在R上单调递减,所以3a-10,0a1,(3a-1)+4a0,解得17a13.6已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a=()A.4或-3B.4或-11 C.4D.-3【解析】选C.因为f(x)=x3+ax2+bx+a2,所以f(x)=3x2+2ax+b.由题意得f(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,即2
8、a+b=-3a+b+a2=9,解得a=-3b=3,或a=4b=-11.当a=-3b=3时,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,故函数f(x)单调递增,无极值不符合题意.所以a=4.7知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有ff(x)-ex=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)=()A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-ex=c,f(x)=ex+c.所以f(c)=ec+c=e+1.所以c=1.8.若0x1x2ln x2-ln x1 B.ex2-ex1x1ex2 D.x2e
9、x2x1ex1【解析】选C.令f(x)= exx,则f (x)=xex-exx2=ex(x-1)x2.当0x1时, f (x)0,即f(x)在(0,1)上单调递减,因为0x1x21,所以f(x2)f(x1),即ex2x2x1ex2.所以f(x)=ex+1.所以f(ln 2)=eln2+1=3.9 a,b,cR,ab,则下列不等式不一定成立的是()A.1ab2 C.ac2+1bc2+1D.a|c|b|c|【解析】选ABD.取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然1c2+10,则不等式ab的两边同时乘1c2+1,所得不等式仍成立.10 a0,b0,
10、则下列不等式中一定成立的是()A.a+b+1ab22 B.2aba+babC.a2+b2aba+bD.(a+b)1a+1b4【解析】选ACD.因为a0,b0,所以a+b+1ab2ab+1ab22,当且仅当a=b且2ab=1ab,即a=b=22时取等号,故A成立;因为a+b2ab0,所以2aba+b2ab2ab,当且仅当a=b时取等号,所以2aba+bab不一定成立,故B不成立,因为2aba+b2ab2ab=ab,当且仅当a=b时取等号,a2+b2a+b=(a+b)2-2aba+b=a+b-2aba+b2ab-ab,当且仅当a=b时取等号,所以a2+b2a+bab,所以a2+b2aba+b,故C
11、一定成立,因为(a+b)1a+1b=2+ba+ab4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.11.已知函数y=fx是R上的奇函数,对任意xR,都有f2-x=fx+f2成立,当x1,x20,1,且x1x2时,都有fx1-fx2x1-x20,则下列结论正确的有()A.f1+f2+f3+f2 019=0B.直线x=-5是函数y=fx图象的一条对称轴C.函数y=fx在-7,7上有5个零点D.函数y=fx在-7,-5上为减函数【解析】选ABD.由奇函数可得f(0)=0.由f(2-x)=f(x)+f(2),令x=2,可得f(2)=0,则f(x)=f(2-x),f(x)的图象关于直线x=1对称.f(x)=f
12、(2-x)=-f(x-2)=-f(x-2-2)=f(x-4),所以f(x)是周期为4的周期函数.当x1,x20,1,且x1x2时,都有fx1-fx2x1-x20,所以f(x)在区间0,1上单调递增.根据以上信息可画出函数f(x)的草图如图所示.选项A,易得f(1)+f(3)=f(2 017)+f(2 019)=0,f(2)=f(4)=f(2 018)=0,所以f1+f2+f3+f2 019=0,A正确.选项B,直线x=-5是函数y=fx图象的一条对称轴,B正确.选项C,函数y=fx在-7,7上有7个零点,C不正确.选项D,函数y=fx在-7,-5上为减函数,D正确.12函数fx=x2+x-1e
13、x,则下列结论正确的是()A.函数fx存在两个不同的零点B.函数fx既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时,-1x2,当fx0时,x2,故-,-1,2,+是函数的单调递减区间,-1,2是函数的单调递增区间,所以f-1是函数的极小值,f2是函数的极大值,所以B正确.对于C.当x+时,y0,根据B可知,函数的最小值是f-1=-e,再根据单调性可知,当-ek0时,方程fx=k有且只有两个实根,所以C正确;对于D.由图象可知,t的最大值是2,所以不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.一题两空的，第一个空2分，第二个空3分请把正确答案填在题中横线上)13.已知幂函数f(x)=xa的
14、图象过点2,22,则f(x)的定义域为_.【解析】依题意得2a=22=2-12,所以a=-12,f(x)=x-12=1x,所以f(x)的定义域为(0,+).答案:(0,+)14义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是_.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以f(1-m)f(m)等价于f(|1-m|)|m|,-21-m2,-2m2.解得-1m2(a0且a1)的值域为4,+),则f(1)=_;实数a的取值范围为_.【解析】因为12,所以f(1)=-1+6=5.当x2时,y=-x+6是减函数,所以y-2+6
15、=4.若0a1,函数y=f(x)=3+logax是增函数,所以y3+loga2,要想函数f(x)的值域为4,+),只需3+loga24,即loga21lg2lga1lg 2lg aa2,所以1a2,实数a的取值范围为(1,2.答案:5(1,2 16.若函数f(x)=x2ex-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是_.【解析】函数y=x2ex的导数为y=2xex+x2ex=xex(x+2), 令y=0,则x=0或-2,所以函数y在(-2,0)上单调递减,在(-,-2),(0,+)上单调递增,所以0或-2 是函数y的极值点,函数的极值为:y1=0,y2=4e-2=4e2,函数f(x)=x2ex-a恰
16、有三个零点,则实数a的取值范围是0,4e2.答案:0,4e2四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）已知A=x|-1x3,B=x|mx1+3m. (1)当m=1时,求AB.(2)若BRA,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为m=1时,B=x|1x4,所以AB=x|-1x3.当B=时,则m1+3m,得m-12,满足BRA,当B时,要使BRA,必须满足m1+3m,1+3m-1或m3,解得m3.综上所述m的取值范围是(-,-12(3,+).18（12）已知函数f(x)=2|x-2|+ax(xR)有最小值 (1)求实数a的取值范围.(2)设
17、g(x)为定义在R上的奇函数,且当x0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.【解析】(1)f(x)=(a+2)x-4,x2,(a-2)x+4,x0,则-x0,0,x=0,(a-2)x+4,x0),f(1)=2e-1-a=2(e-1),所以a=1.(2)由函数f(x)在1,+)上递增,可得f(x)=(x+1)ex-1x-a0在1,+)上恒成立,即a(x+1)ex-1x在1,+)上恒成立,令g(x)=(x+1)ex-1x,则g(x)=(x+2)ex+1x20,所以g(x)在1,+)上递增,所以g(x)min=g(1)=2e-1,所以a2e-1.即a的取值范围为(-,2e-1.20（12分）.
18、设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程.(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同的零点,求c的取值范围.【解析】 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23.当x变化时,f(x)与f(x)在区间(-,+)上的变化情况如下:x(-,-2)-2-2,-23-2
19、3-23,+f(x)+0-0+f(x)cc-3227所以,当c0且c-32270). (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.【解析】(1)因为g(x)=x+e2x2e2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域为2e,+),因而只需m2e,则g(x)=m就有零点,即m的取值范围为2e,+).(2)函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点,即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+e2x(x0)的图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1
20、=-(x-e)2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).22（12分）设函数fx=x-1ex+a2e-ex,(1)求fx的单调区间;(2)若不等式fx0对x2,+恒成立,求整数a的最大值.【解析】(1)fx=xex-aex=x-aex.令fx=0,则x=a.当x-,a时,fx0;所以fx的单调递增区间是a,+,单调递减区间是-,a.(2)当x2,+时,x-1ex+a2e-ex0恒成立,等价于当x2,+时,x-1exex-2ea恒成立;即x-1exex-2emina对x2,+恒成立.令gx=x-1exex-2e,x2,+,gx=exex-2exex-2e2,令hx=ex-2ex,x2,+,hx=ex-2e0,所以hx=ex-2ex在2,+上单调递增.又因为h2=e2-4e0,所以gx在2,3上有唯一零点x0,且ex0=2ex0,x02,3,所以gx在2,x0上单调递减,在x0,+上单调递增,所以gxmin=gx0=x0-1ex0ex0-2e=x0-12ex02ex0-2e=x02,3,所以ax02,3,故整数a的最大值为2.
