1、2020北京人大附中高三考前热身练习 数 学 2020.6本试卷共4页满分150分，考试时长120分钟考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合（）A. B. C. D. 2复数的模为（ ）A1B2CD3若，则不等式等价于（ ）A. B.C.D.4某几何体的主视图和左视图如右上图所示，则它的俯视图不可能是（ ）5公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金
2、开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：）A2020年B2021年C2022年D2023年6.为非零向量，为“”“为共线”的A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7已知函数（其中）的最小值为1，则（ ）A. 1B. C. D. 8.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值为A. B. C. D. 9.已知不过坐标原点的直线交抛物线于两点,若直线的斜率分别为2和6,则直线的斜率为()A.3B.2C.-2D.-310.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元，占全球GDP的16.0%；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的43.4%；
3、对外贸易总额（进口额+出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的21.7%.2016年“一带一路”沿线国家情况人口（万人）GDP（亿美元）进口额（亿美元）出口额（亿美元）蒙古301.4116.538.745.0东南亚11国63852.525802.211267.211798.6南亚8国174499.029146.64724.13308.5中亚5国6946.72254.7422.7590.7西亚、北非19国43504.636467.59675.58850.7东欧20国32161.926352.19775.511388.4关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况，能够从上述资料中推出的是
4、（）A超过六成人口集中在南亚地区B东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上C平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元D平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11在的展开式中，的系数为_（用数字作答）12双曲线的离心率为，双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为 13.锐角三角形中，若，则的取值范围是.14.已知非零向量满足，则实数的值为15.已知函数，（1）的零点是；（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是_.三、解答题（共5小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本题满
5、分14分）设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象。求在上的最小值.17.（本题满分14分）为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表套数人数性别12345男生14322女生01331（）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）18.（本题满分
6、14分）平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，,且为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若直线上存在点，使得所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.19.（本题满分15分）已知椭圆的离心率为过的左焦点做轴的垂线交椭圆于两点，且()求椭圆的标准方程及长轴长；()椭圆的短轴的上下端点分别为，点，满足，且,若直线分别与椭圆交于两点，且面积是面积的5倍,求的值.20.（本题满分14分）已知函数.（）求函数的单调区间；（）若对任意，都有成立，求实数的最小值.21.（本题满分14分）若无穷数列满足：是正实数，当时，则称是“Y数列”.（）若是“Y数列”且，写出的所有可能值；（）设是“Y数列”，
7、证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；（）若是“Y数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.2020北京人大附中高三考前热身练习数学参考答案1.解析：故，选B2.解析：法一：法二：选择A3.解析：令，移项分式不等式，可求得或，符合的只有一个，选D.4.解析：对于A，可以是圆锥；对于B，可以是中间提点，对于C，中间提点，选D.5. 解析：即选C6. 解析：因为，即同向，故选B.7.解析：令，变形得,若结果不含，只能令选A8.解析：， 首先排除 D；剩下 3个选项从大到小代入，当时，符合题意，选C9.解析：令，则，联立得
8、选D10.解析：估算对于A，估算，故A错误；对于B，估算错误；对于C，正确；对于D，D错误.故选C二、填空题11.解析：，故系数为.12.解析：，离心率因为共渐近线，故令将代入，解得故13.解析：因为锐角三角形，即故即取值范围为.14.解析：15.解析：海淀查漏补缺题.零点不是点，是横坐标.（1）时,时, ,故的零点是；（2）数形结合，直线过定点，实数的取值范围是.三、解答题（共 5小题，共 85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本题满分 14 分）解：（I）因为所以2分4分由题设知所以6分故所以7分（II）由（I）得，所以，10分因为，所以11分当即时，取得最小值13分17.
9、解析：（）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生完成套卷数之和为4由题意可知，4分（）完成套卷数不少于4 本的学生共8 人，其中男学生人数为 4 人，故 X 的取值为 0,1, 2,3, 4 5 分由题意可得8分所以随机变量X的分布列为：X01234P9分随机变量X的均值11分（III）13分18.解析：（1）解法1：取AF的中点Q，连结,在直角梯形中，,所以四边形为平行四边形，1分所以，在中，所以，2分又因为，所以平面平面，3分又平面,所以平面4分解法2取中点，连结，在中，所以,且又所以,所以四边形为平行四边形所以,因为平面，平面,所以平面.（2）在中，所以,所以
10、,所以,5分又平面平面,平面平面平面,所以平面,7分因为平面,所以8分（3）由（1）（2）以A为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系,9分所以所以所以设所以所以所以所以10分所以11分设平面的法向量为所以所以令12分如与平面成的角为，所以13分所以即与面成的角为14分19. 解析：()因为椭圆C 的左焦点横坐标为-c ，由2分故解得：所以，椭圆 C 的标准方程为：4分长轴长为 4. 5 分 （II）直线的斜率为直线BM斜率为直线的方程为,直线BM的方程为7分由由9分即11分又13分整理方程得：，解得：.14分20.解析：（I）由解得.2分则的情况如下：X2-0+极小值所以函数的单增区间为，单
11、减区间为;6分（）当时，当时，8分若，由（）可知的最小值为，的最大值为，10分所以“对任意，有恒成立”等价于“” 12分即解得.所以的最小值为1.13 分21.解析：（）-2,0,2,84分（）证明：因为，所以或.是等差数列时，假设，则.此时，而，矛盾！所以.于是公差，所以单调递减5分当单调递减时，对任意，.又，所以，从而是等差数列6分当是等比数列时，所以，于是公比.又，所以单调递增.7分当单调递增时，对任意，所以，即.因为，所以是等比数列8分（）解：先证明是数列中的最大项.事实上，如果i是第一个大于的项的脚标，则由知，是的倍数.假设都是的倍数，则由知，也是的倍数.所以由归纳法知，对任意都是的倍数.但不是的倍数，这与是周期数列矛盾！所以是数列中的最大项，从而当时，.9分再证明当是奇数时，是的奇数倍；当是偶数时，是的偶数倍事实上，当时结论成立，假设时成立，当时，由知，结论也成立10分所以，若的值只可能为奇数，所以集合的元素个数最多有1009个。下证集合的元素个数可以是11009的所有整数。事实上，对于，可取数列为：也即：所有的奇数项均等于，所有的偶数项均等于0，此时，数列为Y数列，且11分对于任意整数构造数列的前2018项如下：由于数列是无穷数列，故可取，显然满足数列是Y数列。12分综上，集合的元素个数的所有可能值的个数为1009. 13分