1、河南省豫南九校2019-2020学年高二数学上学期第二次联考试题 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不等式的解集是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因式分解不等式，可直接求得其解集。【详解】，解得.【点睛】本题考查求不等式解集，属于基础题。2.命题“” 的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得到答案。【详解】由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“” 的否定是“”；故答案选B【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特殊命题的否定关系，属于基
2、础题。3.在中，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先选用正弦定理求解的大小，再根据的内角和为即可求解的大小.【详解】因为，代入数值得：；又因为，所以，则或；当时，；当时，.所以或.故选：D.【点睛】解三角形过程中涉及到多解的时候，不能直接认为所有解都合适，要通过给出的条件判断边或角的大小关系，从而决定解的个数，4.记为等差数列的前项和，若，则（ ）A. 8B. 9C. 16D. 15【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差，再由等差数列的通项公式，即可求解【详解】由题意，因为，即，解得，所以，故选D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公
3、式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题5.已知a、b、c分别是ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【详解】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得： 所以 所以三角形为钝角三角形故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.6.已知等比数列的前项和的乘积记为，若，则（ ）A. B. C.
4、 D. 【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，由，可求得的值，代入所求即可。【详解】设等比数列的公比为，由得，故，即.又，所以，故，所以.故选C.【点睛】本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式，考查计算化简的能力，属中档题。7.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用单调性，通过取中间值，即可得到.再不等式的性质，以及对数的运算，即可得到.再通过作差法，即可得到，从而得到的大小比较.【详解】因为，所以，因为，而，所以，即可得，因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了比较大小的问题，涉及到单调性的运用、对数运算公式以及不等式的性质应用，属于中档题.对
5、于比较大小问题，常用的方法有：（1）作差法，通过两式作差、化简，然后与进行比较，从而确定大小关系；（2）作商法，通过两式作商、化简（注意分母不能为零），然后与进行比较，从而确定大小关系；（3）取中间值法，通过取特殊的中间值（一般取等），分别比较两式与中间值的大小关系，再利用不等式的传递性即可得到两式的大小关系；（4）构造函数法，通过构造函数，使得两式均为该函数的函数值，然后利用该函数的单调性以及对应自变量的大小关系，从而得到两式的大小关系.8.不等式组表示的平面区域为，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据数形结合求x2y最值，最后根据最值情况判断选择.【
6、详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，令目标函数为：zx2y，即，当经过点A（2，1）时z取得最小值为0，所以，zx2y0， 显然A，B，D错误，所以，选C。【点睛】本题考查线性规划求最值以及全称命题与特称命题的真假，考查基本分析求解能力，属中档题.9.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，有正弦定理求得的值，再求得，代入公式即可求得面积.【详解】,因为，所以，从而的面积为，故选A.【点睛】本题考查了解三角
7、形，解题关键是在于正余弦定理的合理运用，属于较为基础题.10.“对任意正整数，不等式都成立”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式成立可求得当时，不等式恒成立，由此可依次判定各个选项，从而得到结果.【详解】由得： ，即又 即时，不等式成立则是其必要不充分条件；是其充要条件；，均是其充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，关键是能够求解出不等式成立的充要条件，进而根据必要不充分条件的定义求得结果.11.已知数列满足，数列的前项和为，则 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由求出，得到，再求出，即可求出结
8、果.【详解】因为，所以，两式作差，可得，即，又当时，即满足，因此；所以；因为数列的前项和为，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查数列的应用，根据递推公式求通项公式，由裂项相消法求数列的和，属于常考题型.12.在中，角，所对应的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：结合，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值详解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 当且仅当，时取等号，, 则，所以面积的最大值1. 故选:.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和基本不等
9、式，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在中，角，的对边分别是，若，则_.【答案】3【解析】【分析】直接利用余弦定理，转化求解即可。【详解】解：由余弦定理可得：，解得.故答案为：3。【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题。14.在中，内角，所对应的边长分别为，且，则的外接圆面积为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：，即，即.故.故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.15.已知变量满足条件，若目标函数仅在点（3，3）处取得最小值，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先画出可行域
10、，根据题中条件目标函数zx+y，仅在（3，3）处取得最小值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件，即可求出的取值范围【详解】变量满足的条件对应的平面区域如图所示：因为目标函数zx+y，仅在（3，3）处取得最小值，所以目标函数zx+y的位置应如图所示，故其斜率需满足 k11故答案为：1【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查计算能力数形结合的思想，属于基础题16.已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_【答案】【解析】【分析】因为，所以q1，所以，即，得化简得，由基本不等式得其最小值，即可得到【详解】由，得：q1，所以，化简得：，即，即，得，化简得，当，即时，取得最小值，所以故
11、答案为：【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，角所对的边分别为，且满足.()求角的大小；()若，求边上中线的长.【答案】（）；（）.【解析】【分析】()由题意结合正弦定理边化角，求得的值即可确定A的大小；()易知ABC为等腰三角形，利用余弦定理可得AM的长.【详解】（）因为，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以， （）由，则，所以，由余弦定理可得，所以【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次
12、式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理18.已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.(1)若为直命题，求的取值范围；(2)若为假，为真，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由题得，解不等式即得解；（2）先由题得，由题得，中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.【详解】(1)对任意，不等式恒成立，当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，解得.因此，若为真命题时，的取值范围是.(2)存在，使得成立，.命题为真时，且为假，或为真，中一个是真命题，一个是假命题.当真假时，则解得；当假真时，即.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题主
13、要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】(1)由，可得，两式相减，可化为,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由，利用“裂项法”，即可求得数列的前项和.【详解】（1）令，得，由此得,由于，则，两式相减得，即，所以，即，故数列是等比数列，其首项为，故数列的通项公式是.（2） ， 【点睛】本题主要考查递推关系求通项、等比数列的定义与通项公式以及裂项
14、相消法求和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.已知向量，函数（）.（）求函数的最大值和最小正周期；（）在中，角，所对的边分别为，满足，且，求的值.【答案】（）函数的最大值为1，其最小正周期为;（）2.【解析】【试题分析】（1）先运用向量的数量积公式求出 ，再运用三角变换中的余弦倍角公式和两角差的正弦公式，化简得到 .（2）先借助，求出或（此时，关于，的方程无解，舍去），再借
15、助正弦定理将化为，进而求出 。解：（）由于 .函数的最大值为1，其最小正周期为.（）由于，则有或，解得或（此时，关于，的方程无解，舍去）.又由，结合正弦定理可得，所以 21.在中，角所对的边分别为,且 .（1）求角C；（2）若的中线CE的长为1，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简，结合余弦定理，可得角的大小；（2）利用三角形中线长定理，再利用余弦定理化简后，结合基本不等式可得的最大值，即可求得面积的最大值【详解】（1）由，得： ，即,由余弦定理得， .（2）由余弦定理：，由三角形中线长定理可得：+得 即，当且仅当时取等号所以.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形中线长定理的应用，属于基础题22.设数列是等差数列，数列的前项和，满足且（1）求数列和的通项公式；（2）设为数列的前项和，求【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用求，再结合等差数列的定义求出；（2）结合（1）求出，将分组求和和错位相减法相结合可求得结果【详解】（1）由得，即，又，故，（2）由（1）可得令，其前项和记为，其前项和记为，两式相减得，【点睛】本题主要考查数列通项公式及前项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质及运用能力和学生的运算求解能力，属于中档题
