1、-1-第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征 课标阐释 思维脉络 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.3.了解简单组合体的概念和基本形式.4.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征,培养直观想象的核心素养.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 一、圆柱的结构特征 1.思考(1)如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体?提示边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱.
2、课前篇自主预习 一 二 三 四 五(2)如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?提示ABCD,截面ABCD是矩形.AC不是母线.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 2.填空 圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 用表示它的轴的字母表示图中圆柱记作:圆柱OO 相关概念 轴:旋转轴叫做圆柱的轴;底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面;侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面;母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 课前篇自主预习
3、一 二 三 四 五 二、圆锥的结构特征 1.思考(1)如图,RtABC绕其一直角边AC所在的直线旋转一周,其余两边BC,AB旋转各形成什么图形?它们共同围成什么空间几何体?提示边BC旋转形成一个圆面,边AB旋转形成一个曲面,它们共同围成一个圆锥.课前篇自主预习 一 二 三 四 五(2)如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?提示AB与AD相交于点A,截面ABD是过顶点A的等腰三角形.(3)以RtABC任一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥,这句话对吗?提示不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴,
4、形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 2.填空 圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示轴的字母表示图中圆锥记作:圆锥 SO 相关概念 轴:旋转轴叫做圆锥的轴;底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面;侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线 课前篇自主预习 一 二 三 四 五 三、圆台的结构特征 1.思考(1)类比棱台的得出,如图,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截
5、面之间的部分是什么空间几何体?提示圆台.(2)圆柱、圆锥都可以看作是由平面图形旋转得到的旋转体,那么圆台可看作由什么图形旋转得到的?提示直角梯形.课前篇自主预习 一 二 三 四 五(3)如何由一个直角梯形旋转得到圆台?提示如图,直角梯形ABCD绕其垂直于底边的腰BC所在的直线旋转一周.腰AD旋转形成一个曲面,底边AB,CD各旋转形成一个圆面,它们共同围成一个圆台.课前篇自主预习 一 二 三 四 五(4)如图,在圆台中任取两条不重合的母线,如AD,EF,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AF,AF还是母线吗?提示AD与EF反向延长后交于一点.过AD,EF的截面是等腰梯形.AF不是母
6、线.课前篇自主预习 一 二 三 四 五(5)圆柱、圆锥、圆台的形状虽然不同,但是它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化,如图,你能根据所给图形描述一下它们之间是怎样相互转化的吗?提示当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台就转化为圆柱;当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 2.填空 圆台的结构特征 圆台及相关概念 图形及表示 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;圆台也可以看成是以直角梯形中垂直于
7、底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形经旋转轴旋转一周而形成的旋转体是圆台 用表示它的轴的字母表示图中圆台记作:圆台 OO 相关概念 轴:旋转轴叫做圆台的轴;底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面;侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆台的母线 课前篇自主预习 一 二 三 四 五 3.做一做(1)下列命题中,正确的是()A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所
8、在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 答案:A 解析:以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴,旋转一周所得的旋转体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D不正确.很明显选项A正确.课前篇自主预习 一 二 三 四 五(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.()用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.()用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.()答案:课前篇自主预习 一 二 三 四 五 四、球的结构特征 1.思考(1)如图,把半圆绕其直
9、径所在的直线旋转一周,半圆弧旋转形成什么图形?如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周,圆弧旋转形成什么图形?它们各自围成什么空间几何体?提示半圆弧旋转形成一个球面,圆弧旋转形成的也是一个球面,它们围成的空间几何体都是球.课前篇自主预习 一 二 三 四 五(2)在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径?提示不一定.当AB过球心时是直径.(3)类比平面几何中圆的定义,你能给出球的另一种定义吗?提示空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球.这个定点叫球心,定长叫做球的半径.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 2.填空 球的结构特
10、征 球及相关概念 图形及表示 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球 用表示球心的字母表示图中的球记作:球 O 相关概念 球心:半圆的圆心叫做球的球心;半径:半圆的半径叫做球的半径;直径:半圆的直径叫做球的直径 课前篇自主预习 一 二 三 四 五 五、简单组合体 1.思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗?它们是如何构成的?提示这两个空间几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体,而是由柱、锥、台、球体中的三种或两种组合而成的几何体.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 2.填空(1)简单组合体的概念:由简单几何体组合而成的几
11、何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)简单组合体的基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.课前篇自主预习 一 二 三 四 五 3.做一做 如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.答案:(1)C(2)B(3)D(4)A 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 旋转体的结构特征 例1判断下列各说法是否正确.(1)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台;(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆
12、台;(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球;(5)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 分析旋转体的定义与性质旋转体的结构特征逐一判断 解:(1)错.只有在平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.(5)错.由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.反思感悟 准确理解旋转体的定
13、义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 变式训练1给出下列说法:经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.其中说法正确的是 .(填序号)答案:解析:正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;不正确,圆柱中夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 组合体的结构特征 例2描述下列几何体的结构特
14、征.分析从结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析.解:图所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 反思感悟 判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧:(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 变式训练2如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立
15、体图形分别是由哪些简单几何体组成的?课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 解:旋转后的图形如图所示.其中是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 旋转体中的计算 例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台OO的母线长.分析过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 解:设圆台的母线
16、长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为116,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为rcm,4r cm.过轴SO作截面,如图.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.则SOASOA,SA=3 cm,=,33+=4=14.解得 l=9,故圆台的母线长为 9 cm.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 延伸探究 本例中若圆台的上底面半径为1 cm,其他条件不变
17、,试求圆台的高.解:圆台的上底面半径为 1 cm,下底面半径为 4 cm.如图,在 RtAHA 中,AH=2-2=92-32=6 2(cm),即圆台的高为 6 2 cm.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 转化与化归思想在空间几何体表面上两点间最短距离的应用 典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?【审题视角】将圆柱的侧面沿母线剪开侧面展开图最短距离计算求值 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 解:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图形矩形,如图,连接AB,
18、则AB即为蚂蚁爬行的最短距离.AB=AB=2,AA为底面圆的周长,且AA=21=2,方法点睛 求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.AB=2+2=4+(2)2=2 1+2,故蚂蚁爬行的最短距离为 2 1+2.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 1.下面几何体的截面一定是圆面的是()A.圆台 B.球C.圆柱D.棱柱 答案:B 2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是()A.圆柱 B.圆锥 C.圆台D.两个共底面的圆锥 答案:D 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 3.如图,蒙古包可以看作是由 和 构成的几何体.答案:圆锥 圆柱 解析:上半部分为圆锥,下半部分为圆柱.4.如图是由哪个平面图形旋转得到的()答案:A 解析:题图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由A中图形绕图中旋转轴旋转360得到.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 5.若一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30,则圆锥的高为 cm.答案:10 解析:如图是圆锥的轴截面,则SA=20 cm,ASO=30,AO=10 cm,SO=10 cm.3 3
