1、理科数学一、选择题(每小题5分,共16小题80分)1、已知集合,则的子集的个数为( )A.B.C.D.2、已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.3、在区间上任取两个实数，则满足不等式的概率为（ ）A.B.C.D.4、奇函数的定义域为,若为偶函数,且,则( )A.B.C.D.5、由曲线围成的图形面积为( )A.B.C.D.6、已知函数是奇函数,当时,函数的图象与函数的图象关于对称,则( )A.B.C.D.7、在平面直角坐标系中,若两点,满足条件:,都在函数的图像上;,两点关于直线对称,则称点对是函数的一对“和谐点对”(点对与看作同一对“和谐点对”)已知函数,则此函数的“和谐点
2、对”有( )A.对B.对C.对D.对8、若函数有最大值,则的取值范围为( )A.B.C.D.9、已知函数的一条对称轴为,且函数在上具有单调性,则的最小值为( )A.B.C.D.10、已知,是球的球面上四个不同的点,若,且平面平面,则球的表面积为( )A.B.C.D.11、如图,以为直径在正方形内部作半圆,为半圆上与,不重合的一动点,下面关于的说法正确的是( )A.无最大值,但有最小值B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但无最小值D.既无最大值,又无最小值12、在中,角,所对的边分别为,且是和的等差中项,则周长的取值范围是( )A.B.C.D.13、已知函数，数列的前项和为，（为常数，且），
3、若，则 取值（ ）A.恒为正数B.恒为负数C.恒为零D.可正可负14、已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点,若在以线段为直径的圆上存在两点、,在直线上存在一点,使得,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.15、直线与抛物线交于,两点,为抛物线上一点,三点的横坐标依次成等差数列.若中,边上的中线的长为,则的面积为( )A.B.C.D.16、设直线与抛物线相较于两点，与圆相切与点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)17、已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在第二象限,线段的中点且,则直线的斜率为_.1
4、8、在直三棱柱中,是上一点,则的最小值为_.19、已知点,分别是双曲线的左右两焦点,过点的直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,若是以为顶角的等腰三角形,其中,则双曲线离心率的取值范围为_.20、如图,中,为钝角,过点向的角平分线引垂线交于点,若,则的面积为_.三、解答题(每小题10分,共2小题20分)21、的内角,的对边分别为,已知.(1)求.(2)若,求面积的取值范围.22、已知,圆上的动点满足:线段的垂直平分线与线段相交于点.(1)求点的轨迹的方程;(2)经过点的斜率之积为的两条直线,分别与曲线相交于,两点,试判断直线是否经过定点若是,则求出定点坐标;若否,则说明理由.答案第1题答案D第
5、1题解析,则,则的子集个数为.第2题答案D第2题解析要使函数在上是减函数，需满足解得，故选择D.第3题答案D第3题解析解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间上任取两个数和，事件对应的集合是，对应的面积是，满足不等式的面积为，利用概公式得到，答案为D.第4题答案B第4题解析奇函数的定义域为,若为偶函数,在函数图象关于直线对称,即有,又是奇函数,则,则,即是周期为的周期函数,则.第5题答案D第5题解析曲线可化为,由题意,作出图形如图所示,由曲线关于轴,原点对称,当时,解析式为,则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成,所围成的面积是.第6题答案C
6、第6题解析时,的图象与函数的图象关于对称;时,;时,又是奇函数;.第7题答案C第7题解析画出的图像,如图所示,的两段图像分别位于的两侧,所以原题就等价于原函数与其中一段关于的对称图像有多少个交点,又可知关于对称的函数为,由图可知,“和谐点对”为对.第8题答案B第8题解析由题,单调递增,故,单调递减,故,因为函数存在最大值,所以,解.第9题答案A第9题解析由题,为辅助角, 因为对称轴为,所以,即,解得,所以,又因为在上具有单调性,且,所以,两点必须关于正弦函数的对称中心对称,即, 所以,当时,取最小值为.第10题答案A第10题解析如图,取中点,连接,则,分别取与的外心,分别过,作平面与平面的垂线
7、,相交于,则为四面体的球心,由,得正方形的边长为,则,四面体的外接球的半径,球的表面积为.第11题答案A第11题解析设正方形的边长为,以为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,(其中),无最大值,但有最小值.第12题答案B第12题解析在中,是和的等差中项,可得,解得,由正弦定理可得,设周长为,则,即.第13题答案B第13题解析由得当时，所以即数列为等差数列又所以函数为奇函数，又当时，均为增函数，所以函数在上单调递增因为， ，即，所以，即，同理，因此 取值恒为负数.第14题答案A第14题解析过点且斜率为的直线方程为,联立,的中点坐标为,所以以线段为直径的圆,圆,圆心为,半径为,在圆上存在两点,在
8、直线上存在一点,使得,在直线上存在一点,使得到的距离等于,只需到直线的距离小于或等于,.第15题答案D第15题解析设,因为,三点的横坐标依次成等差数列,所以,又因为为边上的中线,所以轴,即,因为,在抛物线上,所以有,两式作差可得,所以,所以直线的方程为,即,由得:,所以,所以,故.第16题答案D第16题解析当直线的斜率不存在时，这样的直线恰有2条，即，所以；所以当直线斜率存在时，这样的直线有2条即可，设，则.又，两式相减得，.设圆心为，则，因为直线与圆相切，所以，解得，于是，又，即，所以，又，所以，选D.第17题答案第17题解析设右焦点为,连接,又,分别是,中点,所以,且,由余弦定理可知:,.
9、第18题答案第18题解析连,沿将展开与在同一个平面内,如图所示,连,则的长度就是所求的最小值,由直棱柱性质可得,由得,所以, 所以平面. 因为平面,所以,所以,又因为是等腰直角三角形,所以,由此得,又,所以由余弦定理可求得,.图第19题答案第19题解析如图,又,则有,不妨假设,则有,可得,中余弦定理,即.第20题答案第20题解析如图所示,设,则,由余弦定理得,解得,即的面积为.第21题答案见解析第21题解析(1),由正弦定理得,已知,且,则,所以,所以,.(2),由余弦定理得,当且仅当时取等号,当或时,所以面积的取值范围是.第22题答案见解析第22题解析(1),点的轨迹是以,为焦点,长轴长为,焦距为的椭圆,点的轨迹方程为:,(2)设直线的斜率为,则直线的方程为,联立可得,整理,可得,则,则,代入,可得,同理可得,当,的横坐标不相等时,直线的斜率,故直线的方程为,令,可得,此时直线经过点,当,的横坐标相等时,有,解得,此时点,的横坐标为,此时直线经过点,综上所述直线经过点
