1、衡水中学2013届高三下学期寒假自主提升验收考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） （1）已知集合，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D.（2）已知复数和复数，则为 A B C D（3）已知命题：抛物线的准线方程为；命题：若函数为偶函数，则关于对称则下列命题是真命题的是 AB.C. D.（4）等差数列的首项为，公差为，前项和为则“”是“的最小值为，且无最大值”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件（5）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 A. B.
2、 C. D. （6）若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含的项的系数为 A. B.5 C. D.405（7）设函数，若对于任意的，则的最小值为 A4 B2 C1 D（8）设，. 若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A B C D（9）已知为坐标原点，点的坐标为（），点的坐标、满足不等式组. 若当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 A. B. C. D.(10)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为 A. B. C. D. (11) 函数y的图象与函数y2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标
3、之和等于 A8 B6 C4 D2（12）过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 A BC D第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题纸相应的位置上（13）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数位12，则抽取的学生人数是_。图2（14）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 （15）圆心在抛物线上，与直线相切的面积最小的圆的方程为 16已知数列满足，则
4、该数列的前20项的和为 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）如图3，中，点在线段上，且（）求的长；（）求的面积. （19）（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一
5、、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。（18）（本小题满分12分） 如图4，三棱柱中，侧面底面，且,O为中点（）在上确定一点，使得平面，并说明理由；（）求二面角的余弦值（20）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围（21）（本小题满分12分）已知函数() 当时, 求函数的单调增区间；() 求函数在区间上的最小值；(III) 在()的条件下，设,证明：.参考数据：.请考
6、生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时， （22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知O1与O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1 O2的延长线相交于点C，延长AP交O2于点D，点E在AD的延长线上（）.求证：ABP是直角三角形；（）.若，求的值（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线. 以坐标原点为极点，的非负半轴为极
7、轴，建立的极坐标中的曲线的方程为，求和公共弦的长度（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围 20122013学年度高三第二学期寒假自主提升验收考试 数学试卷（理科）答案 因为，所以有，所以 由可得，即9分（）由（）得的面积为，所以的面积为12分（18）解：（）为中点 证法一：取中点，连接 所以可得，所以面面 所以平面6分证法二：因为，且为的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系1分由题意可知，又所以则有：2分设平面的一个法向量为，则有 ，令，得 所以4分设 即，得所
8、以得由已知平面，得 ， 即得即存在这样的点，为的中点6分（）由法二，已知，设面的法向量为mmm，则，m令，所以8分mnnm所以,-12分19.（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则4分（II）的可能值得为0，1，2，3，4，59分所以随机变量的分布列如下：01234510分故12分（20）解：（）由题意知， 所以即 又因为，所以，故椭圆的方程为4分（）由题意知直线的斜率存在.设：，由得.，.6分，.，.点在椭圆上，.8分，.10分，或，实数取值范围为.12分(注意：可设直线方程为，但需要讨论或两种情况)当，单调减， 8分（）令， , 即， 12分（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲证明：（）过点作两圆公切线交于，由切线长定理得，PAB为直角三角形 4分（），又， ，即 7分由切割线定理， 10分（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程解：曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到，1分然后整个图象向右平移个单位得到，2分最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到，3分所以为，4分又为，即，5分所以和公共弦所在直线为，7分所以到距离为， 所以公共弦长为10分
