1、1.4.2 充要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1（2022江西高一期末）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“”和“”的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A2（2022全国高一）设P：，q：，则p是q成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【答案】B【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分条件.故选：B.3（2021安徽泾县中学
2、高一阶段练习）“”是”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由得，两边平方化简即可得结果.【详解】由，由此可知“”是”的充要条件.故选：C.4（2022天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x y，q：，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件【答案】D【分析】分别判断与是否成立，进而判断答案.【详解】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立.故选：D.二、多选题5（2021湖南金海学校高一期中）对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是（）A“”是“”
3、的充要条件B“是无理数”是“a是无理数”的充要条件C“”是“”的充分不必要条件D“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；因为由能得出，而由得不一定成立，故“”是“”的必要条件，故D为真命题.故选：BD.6（2021福建省福州第八中学高一期中
4、）下列结论中正确的是（）A“”是“”的充分不必要条件B在中，“是”为直角三角形“的充要条件”C若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件D“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件【答案】CD【分析】根据充分性和必要性的定义对各个选项逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于A，若，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；对于B，在中，若，则为直角三角形，反之，若为直角三角形，直角为时，不成立，所以“是”为直角三角形“的充分不必要条件，故B错误；对于C，若，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；对于D，当x为无理数，若，则为有理数，若为无
5、理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，故D正确.故选：CD.7（2021江苏金湖中学高一期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题中正确的是（）A“”是“”的既不充分也不必要条件B“”是“”的充分不必要条件C“”是“”的充要条件D“”是“”的必要不充分条件【答案】BCD【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A，由“”可得“”，反之，由“”不一定得到“”，故“”是“”的既充分也不必要条件，故A错误；B，由“”可得“”，反之，“”可得“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；C，由“”由指数函数的单调性可得“”，反之也成立，故“”是“”的充要
6、条件，故C正确；D，若“”，当其中一个为负数时，则“”不成立，反之，若“”，可得“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：BCD8（2021山东临沂高一期中）下列选项中，是的充要条件的是（）A：，：，B：，：C：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等D：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分【答案】BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由，得，或，故不是的充要条件，故A错误；对于B：由，则，若则，故是的充要条件，故B正确；对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，故C正确；对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，
7、故不是的充要条件，故D错误；故选：BC三、填空题9（2021全国高一课时练习）k4，b4时，k40，b5时，b54，b0，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对，根据三角形全等定理可知，p是q充要条件；对，由p能得q，但是，若a=-b，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对，易知p是q充要条件；对，由直线平行定理可知，p是q充要条件；对，由三角形的全等定理可知，由p不能得q，但由q可以得p，故p是q必要不充分条件.故答案为：；12（2021全国高一课时练习）在下列各题中，用符号“”“”或“”填空：（1）_；（2）x是能被4整除的自然数_x是偶数；（3）已知p，是偶数_是偶数；（4）甲是
8、上海人_甲是中国人；（5）_.【答案】 【分析】根据命题之间的关系逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：（1）当时，当，或或，故；（2）当x是能被4整除的自然数，则x是偶数，当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数，故当x是能被4整除的自然数 x是偶数；（3）若是偶数，则都是奇数或都是偶数，当都是奇数时，都是奇数，则是偶数，当都是偶数时，都是偶数，则是偶数，所以是偶数，则是偶数，若是偶数，则都是奇数或都是偶数，当都是奇数时，都是奇数，则是偶数，当都是偶数时，都是偶数，则是偶数，所以是偶数，则是偶数，所以是偶数是偶数；（4）若甲是上海人，则甲是中国人，若甲是中国人，则甲不一定是上海人，所以甲是
9、上海人甲是中国人；（5）若，当时，等式成立，则，不一定成立，若，则或，则，所以.故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.13（2021全国高一课时练习）设集合，则的充要条件是_【答案】，【分析】因为，所以是方程的根，也是方程的根，通过代入得到关于，的方程组，解出，再说明当和时，能够满足.【详解】由，可知，于是解得此时，符合故的充要条件是，故答案为：，四、解答题14（2021江苏高一课时练习）求证：一元二次方程x2pxq0有两个异号实数根的充要条件是q0.【分析】充分性：根据q0，得出p24q0，即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明.【详解】证明充分性：因为q0，所以方程x2px
10、q0的p24q0，故方程x2pxq0有两个不相等的实数根设方程的两根为x1，x2.因为x1x2q0，所以方程x2pxq0有两个异号实数根必要性：因为方程x2pxq0有两个异号实数根，设两根为x1，x2，所以x1x20.因为x1x2q，所以q0.由，命题得证15（2021全国高一专题练习）指出下列命题中，是的什么条件：（l），；（2）两直线平行，同位角相等；（3）点在角的平分线上，点到角的两边所在直线的距离相等；（4）斜边相等，两直角三角形全等.【答案】（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件.【分析】（1）利用集合的包含关系判断可得出结论；（2）利用充分
11、条件、必要条件的定义判断可得出结论；（3）利用角平分线的性质和定义判断可得出结论；（4）利用全等三角形可判断可得出结论.【详解】（1）由可得，因为，因此，是的充分不必要条件；（2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，因此，是的充要条件；（3）若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上，故是的充分不必要条件；（4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为、的直角三角形和三边边长分别为、的直角三角形，这两个三角形不全等，另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相
12、等.因此，是的必要不充分条件.16（2021河南范县第一中学高一阶段练习）判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一）(1)：xy1；：x1且y1.(2)：x是整数；：x2是正整数.(3)：a0；：函数y=ax2+x没有最大值.【答案】(1)必要不充分条件；(2)既不充分也不必要条件；(3)充分不必要条件【分析】（1）、取判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，得出结论；（2）、取判断充分性是否成立，取判断必要性是否成立，得出结论；（3）、若则抛物线开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数没有最大值，得出的范围判断必
13、要性是否成立，得出结论；(1)若，满足所以充分性不成立；若则所以必要性成立；所以是的必要不充分条件；(2)取,满足是整数，但不是正整数，所以充分性不成立；取，满足是正整数，但不是整数，所以必要性不成立，所以是的既不充分也不必要条件；(3)若则抛物线开口向上，函数没有最大值，所以充分性成立；若函数没有最大值，则所以必要性不成立；所以是的充分不必要条件；17（2021全国高一课时练习）设a，b，求证：，的充要条件是，【分析】先证必要性，再由反证法结合不等式的性质证明即可.【详解】证明：（必要性）由，显然有，（充分性）用反证法：假设，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0由a，b，c的对称性，不妨
14、设由得，从而由，得，即故，于是这与矛盾，于是假设不成立因此，18（2021全国高一课时练习）已知a、b、c为的三边长，集合，(1)若，求；(2)求的充要条件【答案】(1)(2)的充要条件是【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.(1)由，得，从而(2)当时，且存在，使得，于是，又a、b、c为的三边长，得从而的充要条件是，并注意到，得将代入，得即由消去得到而满足，因此的充要条件是【能力提升】一、单选题1（2022江苏高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，1，2，3给出如下四个结论：；“整数a，
15、b属于同一类”的充要条件是“”其中正确的结论有（）ABCD【答案】D【分析】根据“类”的定义计算后可判断的正误，根据集合的包含关系可判断的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故错误；而，故，故正确；由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故正确若整数a，b属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同，故a，b属于同一“类”，故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故正确；2（2022宁夏银川高一期末）已知，则“使得”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】C【分析】依据子集的定义进行判断
16、即可解决二者间的逻辑关系.【详解】若使得，则有成立；若，则有使得成立.则“使得”是“”的充要条件故选：C二、多选题3（2021福建福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）已知xR，yR，下列各结论中正确的是（）A“xy0”是“”的充要条件B“xy”是“”的充要条件C“x0”是“xy0”的必要不充分条件D“x+y=0”是“”的充分不必要条件【答案】AC【分析】根据即可判断A，取特例可判断B，由不等式性质判断C，分析分母不0可判断D.【详解】因为与等价，故“xy0”是“”的充要条件，A正确；因为，推不出，故B错误；因为当，时推不出xy0，当时，能推出，所以“x0”是“xy0”的必要不充分
17、条件，C正确；由可得，当满足时，才可得，即推不出，反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确.故选：AC三、填空题4（2021河南濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是_(填序号)（1）如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件【答案】（1）（2）（3）【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条
18、件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.四、解答题5（2021福建福州高一期中）证明：“”是“关于的方
19、程有一正一负根”的充要条件.【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.6（2021河南范县第一中学高一阶段练习）已知a1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y1成立的充要条件是b2.【分析】利用充分必要条件的概念及二次
20、函数的性质即可求解.【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，所以a1，且01，故当x=时，函数有最小值y=a2-2a+b=b-1.先证必要性：对于任意的xx|0x1，均有y1，即b-11，所以b2.再证充分性：因为b2，当x=时，函数有最小值y=a2-2a+b=b-11，所以对于任意，y=a2x2-2ax+b1，即y1成立的充要条件是b2.【点睛】关键点睛：证明充分必要条件时，要分开证明充分性和必要性，这样逻辑比较清晰.7（2021江苏高一课时练习）设a，b，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.【分析】由可得，将方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立
21、，将代入方程可得知必要性成立，由此得出证明.【详解】充分性：，代入方程得，即关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，即故关于的方程有一个根是的充要条件为8（2021河南商丘高一阶段练习）判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）：（），；（）p：关于x的方程有两个不相等的实根，；（）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形；（）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等；（）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径【答案】（）必要不充分条件；（）充分不必要条件；（）充要条件；（）必要不充分条件；（）充要条件【分析】利
22、用充分必要条件的定义即可判断.【详解】（），故p是q的必要不充分条件；（）p：关于x的方程有两个不相等的实根，则，且，p是q的充分不必要条件；（）p：四边形的对角线互相平分且长度相等即四边形是矩形，q：四边形是矩形，p是q的充要条件；（）p：两个三角形的相似，q：两个三角形全等；p是q的必要不充分条件；（）p：直线与圆有两个交点，即圆心到直线的距离小于圆的半径，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径，p是q的充要条件9（2021全国高一专题练习）求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.【分析】分充分性和必要性证明，先由两方程有一个公共实数根求出参数的取值，证出必要性，再证明充分性即可【详解】必要性：若方程与有一个公共实数根，设为，则两式相减得：或若，两个方程均为无解，故，代入可得.充分性：当时，解得；，解得；两个方程有公共根为1.综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
