1、第3节 机械能守恒定律和能量守恒定律一、重力势能1重力做功的特点重力做功与无关，只与物体初末位置的有关重力做功的大小WG.2重力势能的表达式：Ep.3重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就；重力对物体做负功，重力势能就(2)定量关系：重力对物体做的功物体重力势能的减少量即WG(Ep2Ep1).路径高度差mgh减小增加等于Ep1Ep2mgh重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在零势能面大还是小二、弹性势能1大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量，劲度系数，弹簧的弹性势能越大2弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功弹性势能，弹力
2、做负功弹性势能即弹簧恢复原长过程中弹力做，弹性势能，形变量变大的过程中弹力做，弹性势能三、机械能守恒定律1内容：在只有做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持越大越大减小增加正功减小负功增加重力或弹力不变2表达式Ek1Ep1Ek2Ep2即12mv21mgh112mv22mgh2.由于动能和势能都是相对量，故机械能也是相对量，在应用机械能守恒定律时，等号左右两边的动能必须相对同一参考系，势能必须相对同一零势能面1下列运动中能满足机械能守恒的是()A铅球从手中抛出后的运动(不计空气阻力)B子弹射穿木块C细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动D吊车将货
3、物匀速吊起解析：铅球从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A正确；子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一部分转化为内能，机械能不守恒，B不正确；小球在光滑的水平面上做圆周运动，受到重力，水平面对小球的支持力，还有细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C正确；吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，运动过程机械能不守恒，D不正确
4、答案：AC2下列关于重力势能的说法正确的是()A重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的B重力势能的大小是相对的C重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功D在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零解析：重力势能是由物体和地球的相对位置所决定的，由地球和物体所共有，所以A、B正确；由于重力势能的大小与零势能面的选取有关，所以重力势能等于零不等于没有对外做功的本领，所以C错误；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D错误答案：AB3.(2010年高考安徽卷)伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点如果在E或F处钉
5、上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小()A只与斜面的倾角有关 B只与斜面的长度有关C只与下滑的高度有关D只与物体的质量有关解析：由题可知摆球由同一位置释放，虽然经过的轨迹不同，但达到的高度相同，说明到达圆弧最低端的速度大小相同，仅与高度有关，故选项C正确，A、B、D均错答案：C4.如图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好到最低点B位置时线被拉断设摆线长为L1.6 m，B点与地面的竖直高度为6.6 m，不计空气阻力，求摆球着地时的速
6、度大小(g取10 m/s2)解析：摆球从 A 摆到 B 的过程中，只有重力对其做功，机械能守恒设摆球摆到 B 点时的速度大小为 v，取 B 点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得mgL(1cos 60)12mv2解方程得摆球速度 v gL 101.6 m/s4 m/s 摆球在 B 点断线后，以 v4 m/s 的速度做平抛运动，摆球在空中运动的过程中只有重力做功，机械能仍守恒，摆球在 B 点的机械能是E1Ep1Ek1012mv212mv2，落地时摆球的机械能是E2Ep2Ek2mgh12mv2.由机械能守恒定律得：mgh12mv212mv2，则摆球着地时速度的大小为：v v22gh 42210
7、6.6 m/s12.2 m/s.答案：12.2 m/s 机械能守恒的判断方法1守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功可以从以下两个方面理解：(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒2判断方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变若一个物体动能不变，重力势能变化，或重力势能不变，动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的
8、弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒(1)当物体所受的合力为零(或合力做功为零)时，物体的机械能不一定守恒(2)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒例1(2012年苏州模拟)如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动(转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v，下列说法正确的是()A运动过程中B球机械能守恒B运动过
9、程中B球速度大小不变CB球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变DB球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化思路点拨 解答该题时应注意以下两点：(1)轻杆对小球的弹力不一定沿杆，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化(2)通过判断B球的动能、势能的变化判断B球机械能的变化自主解答 以 A、B 球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒以过 O 点的水平面为重力势能的参考平面，假设 A 球下降 h，则 B 球上升 h，此时两球的速度大小都是 v，由机械能守恒定律知：12mv22212mv2m
10、ghmgh得 vv，说明两球做的是匀速圆周运动B 球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加，故 B球的机械能不守恒由几何知识可得相等的时间内 B 球上升的高度不同，因此单位时间内机械能的变化量是不断改变的，故 B、D 正确答案 BD1.如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球，给小球一较大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动在此过程中()A小球的机械能守恒B重力对小球不做功C绳的张力对小球不做功D在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少解析：斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、绳子拉力，由于除重力做功外，摩擦力做负功，机械能减少，A、
11、B错；绳子张力总是与运动方向垂直，故不做功，C对；小球动能的变化等于合外力做的功，即重力与摩擦力做的功，D错答案：C机械能守恒定律的表达式及应用1三种守恒表达式的比较 2.应用机械能守恒的方法步骤(1)选取研究对象单个物体多个物体组成的系统系统内有弹簧(2)根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解(5)对计算结果进行必要的讨论和说明机械能守恒定律是一种“能能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断例2(2012年菏泽模拟)如
12、图所示，斜面轨道AB 与水平面之间的夹角53，BD为半径R4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处有一质量m1 kg的小球由静止下滑，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS8 m/s，已知A点距地面的高度H10 m，B点距地面的高度h5 m，设以MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10 m/s2，cos 530.6，求：(1)小球经过B点时的速度为多大？(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时受到的支持力为多大？(3)小球从D点抛出后，受到的阻力Ff与其瞬时
13、速度方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中阻力所做的功思路点拨(1)物体从A经B、C到D点的过程中“轨道光滑”，只有重力做功，机械能应守恒(2)物体从D点飞出落到S点的过程中要经过“阻力场”，克服阻力做功，机械能减少，应用动能定理计算自主解答(1)设小球经过 B 点时的速度大小为 vB，由机械能守恒得：mg(Hh)12mv2B0解得：vB10 m/s.(2)设小球经过 C 点时的速度大小为 vC，受到的支持力为 FN.由 B 点到 C 点根据机械能守恒定律得：12mv2BmgR(1cos 53)12mv2C在 C 点由牛顿第二定律得：FNmgmv2CR解得：FN43 N.(3)设小球由 D
14、点到 S 点的过程中阻力做功为 W，则由动能定理得：mghW12mv2S12mv2D而且 vDvB10 m/s解得：W68 J.答案(1)10 m/s(2)43 N(3)68 J2.如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围解析：设物块在圆形轨道最高点的速度大小为 v，由机械能守恒定律得mgh2mgR12mv2物块在最高点受的力为重力
15、 mg、轨道的压力 FN.重力与压力的合力提供向心力，有mgFNmv2R物块能通过最高点的条件是 FN0由式得：v gR由式得：h52R按题目要求，FN5mg，由式得v 6gR由式得：h5R所以 h 的取值范围是52Rh5R.答案：52Rh5R机械能守恒定律与动能定理的区别1机械能守恒定律的适用是有条件的，而动能定理具有普适性2机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间的关系，而动能定理揭示的是物体的动能变化与引起这种变化的合外力的功的关系，既要考虑初、末状态的动能，又要认真分析对应这两个状态间经历的过程中各力做功情况3动能定理侧重于解决一个研究对象受合外力做功的影响，而引起自身动能的变化
16、，即外界因素与自身变化的关系；而机械能守恒定律是排除外界因素对系统的影响，研究系统内两个或多个研究对象之间动能和势能相互转化的规律解决机械能守恒的问题，关键是对研究对象所参与的运动过程进行准确地分析，判断机械能是否守恒，哪个过程守恒，然后再选取适当的形式列式求解例3 如图所示，倾角为的光滑斜面上放有两个质量均为 m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；(2)此过程中杆对B球所做的功思路点拨 解答本题时要注意以下三点：(1)A和B组成的系
17、统在下滑过程中机械能守恒(2)在水平面上，A、B的速度相等(3)整个过程杆对B球的力为变力，变力所做的功可应用动能定理求解自主解答(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为 v，根据机械能守恒定律有：mghmg(hLsin)212mv2，解得：v 2ghgLsin(2)根据动能定理，对 B 球有得 Wmgh12mv2W12mv2mgh12mgLsin.答案(1)2ghgLsin (2)12mgLsin 3如图所示，质量为M(M足够大)的小球被一根长为L的可绕O轴自由转动的轻质杆固定在其端点，同时又通过绳跨过光滑定滑轮与质量
18、为m的小球相连小球M此时与定滑轮的距离可忽略若将质量为M的球，由杆呈水平状态开始释放，不计摩擦，竖直绳足够长，则当杆转动到竖直位置时，质量为m的球的速度是多大？解析：当转到竖直位置时，M 球下落距离 L，绳与竖直方向成 45角，m 球上升的高度为 h 2L设此时 M 球、m 球的速度大小分别为 vM、vm有 vM 2vm在整个运动过程中，由机械能守恒M gLmg 2L12Mv2M12mv2m由以上 3 式得出 m 球的速度vm2gLM 2m2Mm答案：2gLM 2m2Mm1.(2011年高考课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离假定空气阻力可忽
19、略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A运动员到达最低点前重力势能始终减小B蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关解析：运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A正确弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B正确除重力、弹力之外无其他力做功，故机械能守恒，选项C正确重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误答案：ABC2(2011年高考上海综合)用图示装置可以研究动能和重力势能转化中所遵循的规律在摆锤从A位置由静止开始向下摆动到D位置的过程中()重力做正
20、功，重力势能增加 重力的瞬时功率一直增大 动能转化为重力势能 摆线对摆锤的拉力不做功 若忽略阻力，系统的总机械能为一恒量A BCD解析：摆锤向下运动，重力做正功，重力势能减小，故错误由于开始静止，所以开始重力功率为零，在D位置物体v的方向与重力垂直，PGGv cos，可知PG0，而在从A位置摆动到D位置的过程中，重力功率不为零，所以所受重力瞬时功率先增大后减小，错误在向下运动的过程中，重力势能减小，动能增加，故错误摆线拉力与v方向始终垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒，故正确，选D.答案：D3如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O 点，O与O 点在
21、同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则()A两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等B两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大C两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大D两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大解析：整个过程中两球减少的重力势能相等，A球减少的重力势能完全转化为A球的动能，B球减少的重力势能转化为B球的动能和弹簧的弹性势能，所以A球的动能大于B球的动能，所以B正确；在O点正下方位置根据牛顿第二定律，小球所受拉力与重力的合力提供向心力，则A
22、球受到的拉力较大，所以D正确答案：BD4山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37的斜坡，BC是半径为R5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，如图所示，AB竖直高度差h8.8 m，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)求：(1)运动员到达C点的速度大小；(2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小解析：(1)由 AC 过程，应用机械能守恒定律得：mg(hh)12mv2C又 hR(1cos 37)，可解得：vC14 m/s(2)在 C 点，由牛顿第二定律得：FCmgmv2CR解得：FC3 936 N.由牛顿第三定律知，运动员在 C 点时对轨道的压力大小为 3 936 N答案：(1)14 m/s(2)3 936 N
