1、天津市五区县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知i是虚数单位,则等于( )A+iB+iC+iD+i考点:复数代数形式的乘除运算 专题:数系的扩充和复数分析:根据复数的基本运算法则进行计算即可解答:解:=+i,故选:A点评:本题主要考查复数的基本运算,比较基础2若a,bR且ab,则( )Aa2b2Ba3b3CD考点:不等式的基本性质 专题:不等式的解法及应用分析:根据不等式的基本性质,结合已知中ab,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立,可得答案解答:解:a,bR且ab
2、,由于a,b符号不确定,故a2与b2的大小不能确定,故A不一定成立;但a3b3成立,故B正确;但由于a,b符号不确定,故与大小不能确定,故C不一定成立;但由于a,b符号不确定,故大小不能确定,故D不一定成立;故选:B点评:本题考查的知识点是不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质,是解答的关键3若z1,z2R,则|z1z2|=|z1|z2|,某学生由此得出结论:若z1,z2C,则|z1z2|=|z1|z2|,该学生的推理是( )A演绎推理B逻辑推理C归纳推理D类比推理考点:类比推理 专题:综合题;推理和证明分析:由实数集中成立的结论,到复数集中的结论,是类比推理解答:解:由实数集中成立的结论
3、,到复数集中的结论,是类比推理,故选:D点评:本题考查类比推理,本题解题的关键在于对类比推理的理解4一般地,在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格:P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879如图是两个分类变量X,Y的22列联表的一部分,则可以有多大的把握说X与Y有关系( ) y1y2x1155x22020A90%B95%C97.5%D99%考点:独立性检验的应用 专题:计算题;概率与统计分析:根据所给的观测值,把观测值同表格所给的临界值进行比较,看
4、观测值大于哪一个临界值,得到说明两个变量有关系的可信程度解答:解:k2=3.432.706,有90%的把握说X与Y有关系,故选A点评:本题考查独立性检验,考查两个变量之间的关系的可信程度,考查临界值表的应用,本题是一个基础题,关键在于理解临界值表的意义5已知i是虚数单位,则1+i+i2+i100等于( )A1iB1+iC0D1考点:虚数单位i及其性质 专题:数系的扩充和复数分析:根据复数in的周期性进行求解解答:解:i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,1+i+i2+i100=1+(i+i2+i100)=1+25(i+i2+i3+i4)=1,故选:D点评:本题主要考查复数的计算,根据
5、i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0是解决本题的关键比较基础6如图,在ABC中,E,F分别是AB,AC上的点,若EFBC,AEF与四边形EFCB的面积相等,则等于( )ABCD考点:平行线分线段成比例定理 专题:选作题;空间位置关系与距离分析:利用AEF与四边形EFCB的面积相等,可得AEF与ACB的面积相的比为1:2,利用三角形相似的性质,即可得出结论解答:解:AEF与四边形EFCB的面积相等,AEF与ACB的面积相的比为1:2,EFBC,=,故选:B点评:本题考查了相似三角形的性质,考查学生的计算能力,比较基础7已知函数f(x)=2x+(x0),则( )Ax=1时,函数f(x)的
6、最小值为4Bx=2时,函数f(x)的最小值为2Cx=1时,函数f(x)的最小值为4Dx=2时,函数f(x)的最小值为2考点:基本不等式 专题:不等式的解法及应用分析:利用基本不等式的性质即可得出解答:解:x0,f(x)2=4,当且仅当x=1时取等号函数f(x)的最小值为4故选:C点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题8如图,已知AB是半径为5的圆O的弦,过点A,B的切线交于点P,若AB=6,则PA等于( )ABCD考点:与圆有关的比例线段 专题:选作题;推理和证明分析:连接OP,交AB于C,求出OC,OP,利用勾股定理求出PA解答:解:连接OP,交AB于C,则过
7、点A,B的切线交于点P,OBBP,OPAB,AB=6,OB=5,OC=4,OB2=OCOP,25=4OP,OP=,CP=,PA=,故选:C点评:本题考查圆的切线的性质,考查勾股定理,考查学生的计算能力,比较基础9已知zC,i是虚数单位,f(1)=|z+i|,则f(1+2i)等于( )ABCD考点:复数代数形式的混合运算 专题:数系的扩充和复数分析:根据条件将函数f(1+2i)转化为已知条件f(1)=|z+i|形式进行求解即可解答:解:f(1+2i)=f(2+2i1),=2+2i,则z=22i,即f(1+2i)=|22i+i|=|2i|=,故选:D点评:本题主要考查函数值的计算,根据复数形式进行
8、有效转化是解决本题的关键10如图,AB是半径为2的圆O的弦,CD是圆O的切线,C是切点,D是OB的延长线与CD的交点,CDAB,若CD=,则AC等于( )ABC1D2考点:与圆有关的比例线段 专题:选作题;推理和证明分析:连接OC,则OCCD,利用CDAB,可得OCAB,AC=BC,利用余弦定理求出BC,即可得出结论解答:解:连接OC,则OCCD,CDAB,OCAB,AC=BC,OCD中,OC=2,CD=,OD=3,BD=1,cosD=,BC=,AC=,故选:B点评:本题考查圆的切线的性质,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在
9、题中横线上)11在一次抽样调查中,获得一组具有线性关系的数据(xi,yi),i=1,2,10,用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2,若这组数据的样本点中心为(3,4),则=考点:线性回归方程 专题:计算题;概率与统计分析:将这组数据的样本点中心为(3,4),代入线性回归方程为y=x+2,即可得出结论解答:解:因为用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2,这组数据的样本点中心为(3,4),所以4=3+2,所以=故答案为:点评:本题考查线性回归方程,考查数据的样本中心点,考查样本中心点和线性回归直线的关系,本题是一个基础题12数列n3的前n项和为Sn,观察下列式子:S,S=(1+2)2,S
10、3=13+23+33=(1+2+3)2,根据以上式子猜想数列n3前n项和公式Sn=考点:归纳推理 专题:等差数列与等比数列;推理和证明分析:根据题意,分析题干所给的等式可得:13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,归纳等式两边的变化规律,进而可得答案解答:解:根据题意,分析题干所给的等式可得:13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,归纳可得:13+23+33+43+n3=(1+2+3+4+n)2=2=,故答案为:点评:归
11、纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)13阅读如图的程序框图,输入的N=6,则输出的结果为9考点:程序框图 专题:算法和程序框图分析:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案解答:解:输入的N=6,当i=1时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=1,i=2; 当i=2时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=9,i=3;当i=3时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=36,i=4;当i=4时,不满足退出循环的条件,执
12、行循环体后:S=100,i=5;当i=5时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=225,i=6; 当i=6时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=441,i=7; 当i=7时,满足退出循环的条件,故输出的=9,故答案为:9点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答14如图,在直角ABC中,AC=3,BC=4,C=90,CDAB,DEBC,D,E为垂足,则DE=考点:相似三角形的性质 专题:选作题;推理和证明分析:利用射影定理,求出BD,再利用等面积,即可求出CD,DE解答:解:在直角ABC中,AC=3,BC=4,C=90,所以AB=5,所以
13、BD=,因为CDAB,所以由等面积可得CD=,所以由等面积可得DE=故答案为:点评:本题考查射影定理,考查三角形面积公式的运用,属于中档题15若k1,a0,则k2a2+的最小值是12考点:基本不等式 专题:不等式的解法及应用分析:两次利用基本不等式的性质即可得出解答:解:k2a2+=6=2,当且仅当k=2,a=时取等号故答案为:12点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16已知i是虚数单位,z=(m22m3)+(2m2+m1)i,mR(1)若z是纯虚数,求m的值;(2)若m=1时z对应
14、的点为A,m=2时z对应的点为B,求A,B两点的距离考点:复数的代数表示法及其几何意义 专题:数系的扩充和复数分析:(1)根据z是纯虚数,建立方程关系即可求m的值;(2)根据复数的几何意义求出A,B的坐标即可解答:解:(1)z是纯虚数, m=3 (2)当m=1时,z=4+2i,点A的坐标为(4,2)当m=2时,z=3+9i,点B的坐标为(3,9)|AB|=5 点评:本题主要考查复数的概念以及复数的几何意义,比较基础17已知关于x的不等式|3xa+5|2a+1|,aR,(1)当a=1时解不等式;(2)若x=是不等式的一个解,求a的取值范围考点:绝对值不等式的解法 专题:不等式的解法及应用分析:(
15、1)当a=1时,原不等式即|3x=4|3,即33x+43,由此求得它的解集(2)由x=是不等式的一个解,可得|3a+5|2a=11|,即|2a+1|5,由此求得a的范围解答:解:(1)当a=1时,原不等式即|3x=4|3,33x+43,73x1,求得x,a=1时,不等式的解集为x|x (2)x=是不等式的一个解,|3a+5|2a=11|,即|2a+1|5,2a+15 或2a+15,求得 a2或a3点评:本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题18已知数列an满足nan+1=(n+1)an+1,nN*,a1=a0(1)求a2,a3,a4的值并猜出an的通项公式;(2)求
16、证,分别以a2,a3,a4为边的三角形不可能是直角三角形考点:数列的应用;数列递推式 专题:综合题;等差数列与等比数列分析:(1)n=1,2,3,分别代入,即可求a2,a3,a4的值,从而猜出an的通项公式;(2)利用反证法证明,即可得出结论解答:(1)解:nan+1=(n+1)an+1,nN*,a1=a0,令n=1得a2=2a1+1=2a+1 令n=2得2a3=3a2+1=3a+2 令n=3得3a4=4a3+1=4a+3 an=(a+1)n1(2)证明:假设以a2,a3,a4为边的三角形是直角三角形a0,4a+33a+22a+1,4a+3为直角三角形的斜边 (4a+3)2=(2a+1)2+(
17、3a+2)2 3a2+8a+4=0,a=或a=2 以上二根均为负数,与已知a0矛盾 假设不成立,原命题成立 点评:本题考查数列递推式,考查反证法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题19已知a0,b0,且a+b=2(1)求+的最小值及其取得最小值时a,b的值;(2)求证:a2+b22考点:基本不等式 专题:不等式的解法及应用分析:(1)利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出(2)利用2(a2+b2)(a+b)2即可得出解答:解:(1)a0,b0,且a+b=2+=5+=9,当且仅当,b=时等号成立+的最小值为9(2)a0,b0,且a+b=22(a2+b2)(a+b)2=4,a2+b22
18、,当且仅当a=b=1时取等号点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题20如图,ABC是圆内接三角形,BAC的平分线交圆于点D,交BC于点F,过点B圆的切线与CD的延长线交于点E(1)求证;EBD=CBD(2)若DE=2,DC=3,求边BC的长考点:与圆有关的比例线段;弦切角 专题:选作题;推理和证明分析:(1)利用角与弧的关系,得到角相等;(2)利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可得出结论解答:(1)证明:BE是切线,由弦切角定理,EBD=DAB DAC,CBD是同弧上的圆周角,CBD=DAC AD是BAC的平分线,DAB=DAC EBD=CBD (2)解:BE是切线,由切割线定理,EB2=EDEC=10,EB=由弦切角定理,EBD=DCB 由(1)知,EBD=CBD=DCB,DC=DB=3 BED=CED,BEDCEB ,BC= 点评:本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于中档题