1、 第四章 函数应用 1 函数与方程 第 1.2 利用二分法求方程的近似解 基础过关练 题组一 用二分法求方程近似解的概念 1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=|x|D.f(x)=ln x 2.对于精度,说法正确的是()A.越大,零点的精度越高 B.越大,零点的精度越低 C.重复计算次数就是 D.重复计算次数与 无关 3.已知函数 f(x)的图像如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 4.若函数 f(x)在a,b上的图像为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)
2、0,则()A.f(x)在 上有零点 B.f(x)在 上有零点 C.f(x)在 上无零点 D.f(x)在 上无零点 5.用二分法求函数 f(x)在区间a,b内的零点的近似值时,需要的条件是 .(填序号)f(x)在a,b上连续不断;f(a)f(b)0;f(a)f(b)0.题组二 用二分法求方程近似解的过程 6.(2021 陕西西安碑林高一上期中质检)用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,若已确定一根在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为()A.(1.4,2)B.(1,1.2)C.(1,1.5)D.(1.5,2)7.在用二分法求函数 f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间
3、是-2,4,则第三次所取的区间可能是()A.1,4 B.-2,1 C.-D.-8.(2020 四川宜宾一中高一下月考)为了求函数 f(x)=2x+3x-7 的一个零点,某同学利用计算器得到自变量和函数值的部分对应数据,如下表:x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5 f(x)-0.871 6-0.578 8-0.281 3 0.210 1 0.328 4 0.641 15 则方程 2x+3x-7=0 的近似解(精确到 0.1)可取为()A.1.4 B.1.39 C.1.32 D.1.3 9.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经过
4、计算 f(0)0,则第二次应计算 f()的值.10.在用二分法求方程 f(x)=0 在0,1上的近似解时,经计算,f(0.625)0,f(0.687 5)0,f(1)0,证明 a0,并利用二分法证明方程 f(x)=0 在区间0,1内有两个实数根.答案全解全析 第四章 函数应用 1 函数与方程 第 1.2 利用二分法求方程的近似解 基础过关练 1.C 2.B 3.D 4.B 6.D 7.D 8.A 1.C 选项 C,令|x|=0,得 x=0,即函数 f(x)=|x|存在零点,但当 x0 时,f(x)0;当 x0,所以 f(x)=|x|的函数值非负,即函数 f(x)=|x|有零点,但零点两侧的函数
5、值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.2.B 依“二分法”的具体步骤可知,越大,零点的精度越低,计算次数越少.3.D 图像与 x 轴有 4 个交点,所以零点的个数为 4;零点左、右函数值异号的有 3 个,所以可以用二分法求解的个数为 3,故选 D.4.B 由 f(a)f(b)0 可知 f()f(b)0,根据零点存在性定理可知 f(x)在 上有零点.5.答案 解析 由二分法的适用条件直接得解.6.D 令 f(x)=x3-2x-1,所以 f(1)=-2,f(2)=3,由二分法知,计算f(1.5)=-0.6250,故 f(1.5)0,所以方程的根位于区间(1.5,2)内.故选 D.7.D 第一次所
6、取的区间是-2,4,第二次所取的区间可能为-2,1,1,4,第三次所取的区间可能为-,-,.8.A 根据函数零点存在性定理,由题表可知,函数 f(x)=2x+3x-7 的零点介于 1.375 到 1.437 5 之间,故方程 2x+3x-7=0 的近似解也介于 1.375 到 1.437 5 之间,由于近似解精确到 0.1,所以结合选项可知 A 符合题意.故选 A.9.答案 0.5 解析 由已知及二分法的解题步骤可知:第二次应计算 f()=f(0.5)的值.10.答案 0.75(区间0.687 5,0.75内任意一个值均可)解析 因为|0.75-0.625|=0.1250.1,|0.75-0.
7、687 5|=0.062 50.1,所以方程的近似解可以是 0.75.11.解析 原方程可以化为(x+1)(x2-8)=0,显然方程的一个有理根是 x=-1,而方程的无理根就是方程 x2-8=0 的根,令 f(x)=x2-8,则只需求出函数 f(x)的正零点的近似值即可.由于 f(2)=-40,因此取区间2,3作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:区间 精度 中点的值 中点函数 值或近似值 2,3|3-2|=1 2.5-1.75 2.5,3|3-2.5|=0.5 2.75-0.437 5 2.75,3|3-2.75|=0.25 2.875 0.265 6 2.75,2.875|2.8
8、75-2.75|=0.125 2.812 5-0.089 8 2.812 5,2.875|2.812 5-2.875|=0.062 5 由于|2.812 5-2.875|=0.062 50.1,因此原方程的正无理根的近似值可取为 2.875.12.答案 4 解析 设等分的次数为 n,由.10,n 的最小值为 4,即将区间(0,0.1)等分的次数至少为 4.13.信息提取 一条长为 10 km,大约有 200 根电线杆的线路发生了故障;设计一个能迅速查出故障所在大致位置的方案.数学建模 本题以电路抢修为背景,构建函数模型,利用二分法的原理迅速确定故障所在的大致位置.可以参照二分法求函数零点近似值
9、的方法,以减少工作量并节省时间.解析 如图.工人师傅首先从中点 C 检测,用随身带的话机向两端测试,若发现 AC段正常,可见故障在 BC 段;再从线段 BC 的中点 D 检测,若发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段;再从 CD 段的中点 E 检测;,由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过 n 次检测,所剩线路的长度为 m,令 100,即 2n100,又 26=64,27=128,故至多检测 7次就能找出故障地点所在区域.思想方法 利用二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现,它主要是通过取区间(或线路)的中点,依次使区间的长度(或焊接点个数)减半,逐步逼近函数的零点(或焊点),从而使问题得到解决.14.证明 f(1)0,f(1)=3a+2b+c0,即 3(a+b+c)-b-2c0.a+b+c=0,a=-b-c,-b-2c0,-b-cc,即 ac.f(0)0,f(0)=c0,a0.取区间0,1的中点 ,则 f()=a+b+c=a+(-a)=-a0,f(1)0,且 f(x)的图像是连续的曲线,函数 f(x)在区间()和()上各有一个零点,又 f(x)为二次函数,最多有两个零点,f(x)=0 在0,1内有两个实数根.
