1、第25讲解直角三角形及其应用1. (2009，河北)如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC150，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B) 第1题图A. m B. 4 m C. 4 m D. 8 m【解析】 如答图，过点C作CEAB于点E.在RtCBE中，CEBCsin 3084(m)hCE4 m.第1题答图2. (2018，唐山丰南区二模)在ABC中，ABAC13，BC24，则tan B的值为(B)A. B. C. D. 【解析】 如答图，过点A作ADBC于点D.ABAC13，BC24，BDBC12.在RtAB
2、D中，AB13，BD12，AD5.tan B.第2题答图3. (2018，保定二模)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图所示的是太阳能电池板支撑架的截面示意图，其中线段AB，CD，EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300 cm，AB的倾斜角为30，BECA50 cm，支撑角钢CD，EF与地面的接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FEAB于点E.点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少(结果保留根号)第3题图【思路分析】 延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AHDG于点H.根据题意，
3、得AB300 cm，BEAC50 cm，AH50 cm，AGH30.先求得AG2AH100(cm)，CG150 cm，继而由CDCG可得CD的长由EGABBEAG可得EG的长，根据EFEGtanEGF可得EF的长解：如答图，延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AHDG于点H.由题意，知AB300 cm，BEAC50 cm，AH50 cm，AGH30.在RtAGH中，易得AG2AH100(cm)CGACAG150(cm)CDCG75(cm)EGABBEAG30050100350(cm)，在RtEFG中，EFEGtanEGF350tan 30350(cm)支撑角钢CD的长为75 cm，EF的长为
4、 cm.第3题答图.解直角三角形例1 在RtABC中，C90，sin A，BC4，则AB的长为(D)A. B. C. D. 【解析】 sin A，即，AB.针对训练1 如图，在RtABC中，斜边AB3，BC1，点D在AB上，且，则tanBCD的值是(C)训练1题图A. B. 1 C. D. 【解析】 如答图，过点D作DEAC交BC于点E.BEDACB90，.AB3，BC1，BE，CE，BD.在RtBDE中，DE.tanBCD.训练1答图解直角三角形的实际应用例2 (2018，长沙，导学号5892921)为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建如图，A，B两地之间有一
5、座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC80 km，A45，B30.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1 km，参考数据：1.41，1.73)例2题图【思路分析】 (1)过点C作CDAB，垂足为D.在RtBCD中，解直角三角形求出CD，进而在RtACD中，求出AC，进而解答即可(2)在RtBCD中，解直角三角形求出BD，在RtACD中，求出AD，进而求出开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米解：(1)如答图，过点C作CDAB，垂足为D.
6、在RtBCD中，B30，BC80 km，CDBCsin 308040(km)在RtACD中，AC40(km)ACBC4080401.4180136.4(km)答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4 km.(2)在RtBCD中，B30，BC80 km，BDBCcos 308040(km)在RtACD中，A45，CD40 km，AD40(km)ABADBD404040401.73109.2(km)ACBCAB136.4109.227.2(km)答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 km.例2答图针对训练2 (2018，天津)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m
7、，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48，测得底部C处的俯角为58.求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC.(结果取整数，参考数据：tan 481.11，tan 581.60)训练2题图【思路分析】 先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案解：如答图，过点A作AECD，交CD的延长线于点E.易知四边形ABCE是矩形AEBC78，ABCE.在RtACE中，ECAEtan 58781.60125.AB125.在RtAED中，DEAEtan 48.CDECDEAE(tan 58tan 48)78(1.601.11)38.答：甲建筑物的高度约为1
8、25 m，乙建筑物的高度约为38 m.训练2答图一、 选择题1. (2018，宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC100 m，PCA35，则小河宽PA为(C)第1题图A. 100sin 35 m B. 100sin 55 m C. 100tan 35 m D. 100tan 55 m【解析】 PAPB，PC100 m，PCA35，PAPCtanPCA100tan 35(m)2. (2018，长春)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升8
9、00 m到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A，B两地之间的距离为(D)第2题图A. 800sin m B. 800tan mC. m D. m【解析】 在RtABC中，CAB90，ABC，AC800 m，AB m.3. (2018，金华)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC，ADC，则竹竿AB与AD的长度之比为(B)第3题图A. B. C. D. 【解析】 在RtABC中，AB.在RtACD中，AD.ABAD.4. (2018，绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于点A处测得海岛B在点A的南偏东30方向，继续向南航行30 n mile到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东15方向，那
10、么海岛B离此航线的最近距离约是(参考数据：1.732，1.414)(B)A. 4.64 n mile B. 5.49 n mile C. 6.12 n mile D. 6.21 n mile【解析】 由题意，知BAC30，ACB15.如答图，过点B作BDAC于点D，以点B为顶点，BC为一边，在ABC内部作CBEACB15，则BED30，BECE.设BDx，则ABBECE2x，ADDEx.ACADDECE2x2x.AC30，2x2x30.解得x5.49.所以海岛B离此航线的最近距离约是5.49 n mile.第4题答图5. (2018，重庆A)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，
11、旗杆与地面垂直在教学楼底部点E处测得旗杆顶端的仰角AED58，升旗台底部到教学楼底部的距离DE7 m，升旗台坡面CD的坡度i10.75，坡长CD2 m若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC1 m，则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin 580.85，cos 580.53，tan 581.6)(B)第5题图A. 12.6 m B. 13.1 m C. 14.7 m D. 16.3 m【解析】 如答图，延长AB交ED的延长线于点M，过点C作CJDM于点J.易知四边形BMJC是矩形在RtCJD中，.设CJ4k，DJ3k.由题意，得9k216k222.解得k.BMCJ，DJ.MJBC1，EMMJDJDE.
12、在RtAEM中，tanAEM，1.6.解得AB13.1(m)第5题答图6. (2018，苏州)如图，某海监船以20 n mile/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向继续向东航行1 h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30方向，保持航向不变又航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(D)第6题图A. 40 n mile B. 60 n mile C. 20 n mile D. 40 n mile【解析】 在PAB中，PAB90，APB30，PB2AB.由题意，得BC2AB.PBBC.CCPB.易知ABPCCPB60，C30.
13、PC2PA.PAABtan 60，PC22040(n mile)7. (2018，张家口一模)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12 n mile的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75方向以10 n mile/h的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14 n mile/h的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是(B)第7题图A. 1 h B. 2 h C. 3 h D. 4 h【解析】 设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为x h由题意，得ABC4575120，AB12，BC10
14、x，AC14x.如答图，过点A作ADCB，交CB的延长线于点D.在RtABD中，AB12，ABD18012060，BDABcos 606，ADABsin 606.CD10x6.在RtACD中，由勾股定理，得(14x)2(10x6)2(6)2.解得x2.答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2 h.第7题答图8. (2018，重庆B)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20 m到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i10.75，坡长为10 m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40 m到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)在E处测得
15、建筑物顶端A的仰角为24，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 240.41，cos 240.91，tan 240.45)(A)第8题图A. 21.7 m B. 22.4 m C. 27.4 m D. 28.8 m【解析】 如答图，过点B作BMED，交ED的延长线于点M，过点C作CNDM于点N.在RtCDN中，设CN4k，DN3k.由题意，得(3k)2(4k)2100.解得k2.CN8，DN6.四边形BMNC是矩形，BMCN8，MNBC20.EMMNDNDE66.在RtAEM中，tan 24，0.45.解得AB21.7(m)第8题答图二、 填空题9. (2018，广州)如图，旗杆高AB8
16、m，某一时刻，旗杆影子长BC16 m，则tan C().第9题图【解析】 旗杆高AB8 m，旗杆影子长BC16 m，tan C.10. (2018，枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31，AB的长为12 m，则大厅两层之间的高度约为 6.2 m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 310.515，cos 310.857，tan 310.601)第10题图【解析】 在RtABC中，ACB90，BCABsinBAC120.5156.2(m)所以大厅两层之间的高度约为6.2 m.11. (2018，仙桃)我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛
17、C位于海岛A的北偏东45方向上在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1) n mile处，则海岛A，C之间的距离为18 n mile.(结果保留根号)第11题图【解析】 如答图，过点A作ADBC于点D.由题意知ACD45，ABD30.设ACx n mile.在RtACD中，ADACsinACDx，进而可得CDx.在RtABD中，BDx.由题意，得xx18(1)解得x18.所以海岛A，C之间的距离为18 n mile.第11题答图12. 如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45.已知甲楼的高
18、度AB是120 m，则乙楼的高度CD是40 m.(结果保留根号)第12题图【解析】 由题意，可得BDAABD45，则ADAB120 m在RtADC中，tanCADtan 30.CD40(m)三、 解答题13. (2018，邢台模拟)如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，BEAB35，CE，cosACD.求：(1)cosABC的值；(2)AC的长第13题图【思路分析】 (1)根据“同角的余角相等”，得ABCACD，进而可得答案(2)令BC4k，AB5k，则AC3k.由BEAB35，知BE3k，则CEk，进而解答即可解：(1)在RtACD与RtABC中，ABCCAD90，ACDCAD90，
19、ABCACD.cosABCcosACD.(2)在RtABC中，.令BC4k，AB5k，则AC3k.BEAB35，BE3k.CEk.CE，k.AC3.14. (2018，绍兴)如图，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图是图中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一条直线上，延长DE交MN于点F.已知ACDE20 cm，AECD10 cm，BD40 cm.第14题图(1)窗扇完全打开，张角CAB85，求此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数；(2)窗扇部分打开，张角CAB60，求此时点A，B之间的距离(结果精确到0.1
20、 cm，参考数据：1.732，2.449)【思路分析】 (1)根据平行四边形的判定和性质可以解答本题(2)根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长解：(1)ACDE20 cm，AECD10 cm，四边形ACDE是平行四边形ACDE.DFBCAB85.(2)如答图，过点C作CGAB于点G.AC20，CGA90，CAB60，CGACsinCAB10，AGACcosCAB10.BD40，CD10，CB30.BG10.ABAGBG101010102.44934.5.所以此时点A，B之间的距离约为34.5 cm.第14题答图15. (2018，内江，导学号5892921)如图所示的是某路灯在铅垂面内的示意
21、图，灯柱AC的高为11 m，灯杆AB与灯柱AC的夹角A120.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18 m，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为和，且tan 6，tan .求灯杆AB的长度第15题图【思路分析】 过点B作BFCE交CE于点F，过点A作AGBF交BF于点G，则FGAC11.设BF3x，则EF4x，可得DFx.由DE18，求得x4.据此知BGBFGF1，再求得BAG30，可得AB2BG2.解：如答图，过点B作BFCE交CE于点F，过点A作AGBF交BF于点G，则FGAC11.tan ，设BF3x，则EF4x.在RtBDF中，DFx.DE18，x4x18.x4.BF12.BGB
22、FGF12111.BAC120，BAGBACCAG1209030.AB2BG2.答：灯杆AB的长度为2 m.第15题答图1. (2018，无锡，导学号5892921)已知在ABC中，AB10，AC2，B30，则ABC的面积为15或10.(结果保留根号)【解析】 本题分两种情况如答图，过点A作ADBC交BC(或BC的延长线)于点D.(1)如答图，当AB，AC位于AD异侧时，在RtABD中，B30，AB10，ADABsin B5，BDABcos B5.在RtACD中，AC2，CD.BCBDCD6.SABCBCAD6515.(2)如答图，当AB，AC在AD的同侧时，由(1)知，BD5，CD，则BCB
23、DCD4，SABCBCAD4510.综上所述，ABC的面积是15或10.第1题答图2. (2018，眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tanAOD 2 .第2题图【解析】 如答图，连接BE交CD于点F.四边形BCEK是正方形，BFCF，BECK.根据题意，得ACBK.ACOBKO.KOCOBKAC13.KOKF12.KOOFCFBF.在RtOBF中，tanBOF 2.AODBOF，tanAOD2.第2题答图3. (2018，潍坊，导学号5892921)如图，一艘渔船正以60 n mile/h的速度向正东方向航行，在A处测得
24、岛礁P在东北方向上，继续航行1.5 h后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75 n mile/h 的速度继续航行()h即可到达(结果保留根号)第3题图【解析】 如答图，过点P作PQAB，交AB的延长线于点Q，过点M作MNAB，交AB的延长线于点N.在RtAQP中，PAQ45，则AQPQ601.5BQ90BQ.BQPQ90.在RtBPQ中，BPQ30，则BQPQtan 30PQ.PQ90PQ.PQ45(3)MNPQ45(3)在RtBMN中，MBN30，BM2MN90(3)所以渔船以75 n mile/h的速度继续航行(h)即可到达第3题答图4. (2018，泰安)如图，在ABC中，AC6，BC10，tan C，D是AC边上的动点(不与点C重合)，过点D作DEBC，垂足为E，F是BD的中点，连接EF.设CDx，DEF的面积为S，则S关于x的函数解析式为(Sx2x).第4题图【解析】 在RtCDE中，tan C，CDx，DEx，CEx.BE10x.SBEDxx23x.DFBF，SSBEDx2x.
