1、第18讲二次函数的应用(1)1. (2009，河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数yx2(x0)若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(C)A. 40 m/s B. 20 m/sC. 10 m/s D. 5 m/s【解析】 刹车距离为5 m，即当y5时，5x2.解得x10(x10舍去)故开始刹车时的速度为10 m/s.2. (2011，河北)一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足函数解析式h5(t1)26，则小球距离地面的最大高度是(C)A. 1 m B. 5 mC. 6 m D. 7 m【解析】 距离地面的高度h和飞行时
2、间t满足函数解析式h5(t1)26，当t1时，小球距离地面的高度最大h最大5(11)266(m)3. (2014，河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x3时，y18，那么当成本为72元时，边长为(A)A. 6 cm B. 12 cmC. 24 cm D. 36 cm【解析】 设y与x之间的函数关系式为ykx2.由题意，得189k.解得k2.y2x2.当y72时，722x2.x6.实物抛物线形问题例1 (2017，德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它
3、喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；(2)水柱的最大高度是多少？例1题图【思路分析】 (1)以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为ya(x1)2h，代入(0，2)和(3，0)得出方程组，解方程组即可(2)求出(1)中所求解析式当x1时，y即可解：(1)如答图，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为ya(x1)2h.将(0，2)和(
4、3，0)代入，得解得抛物线的解析式为y(x1)2，即yx2x2(0x3)(2)对于yx2x2，当x1时，y，即水柱的最大高度为 m.例1答图针对训练1(2018，天津一模)有一个截面是抛物线形的蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数yax2bx来表示已知大棚在地面上的宽度OA为8 m，距离点O 2 m处的棚高BC为 m.(1)求该抛物线的解析式； (2)求蔬菜大棚离地面的最大高度；(3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5 m，则横梁DE的宽度最多是多少米？(结果保留根号)训练1题图【思路分析】 (1)直接利用待定系数法求出该抛物线的解析式(2)利用配方法求
5、出二次函数的顶点式进而得出答案(3)把y1.5代入求出答案解：(1)由题意，得该抛物线经过(8，0)，解得故该抛物线的解析式为yx2x.(2)yx2x(x4)23，故蔬菜大棚离地面的最大高度是3 m.(3)当y1.5时，1.5x2x.解得x142，x242.DEx1x242(42)4.所以DE的宽度最多是4 m.运用二次函数解决实际问题中的面积问题例2 (2018，成都锦江区模拟)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)设ABx m，花园的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)若在P处有一
6、棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值例2题图【思路分析】 (1)根据矩形的面积公式可得S关于x的函数解析式(2)由树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案解：(1)ABx m，BC(28x)m.SABBCx(28x)x228x.(2)由题意，可知x6且28x15.6x13.由(1)知Sx228x(x14)2196.当6x13时，S随x的增大而增大，当x13时，S最大195.所以花园面积的最大值为195 m2.针对训练2 (2018，济宁模拟)为了节省材料，某水产养殖户
7、利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求证：AE2BE；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？训练2题图【思路分析】 (1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE2BE.(2)设BEa，则AE2a，表示出a与x的关系，进而表示出y与x的关系，并求出x的取值范围即可(3)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可 (1)证明：三块矩形区
8、域的面积相等，矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍又EF是公共边，AE2BE.(2)解：设BEa，则AE2a，AB3a.8a2x80.a.y3ax3xx230x.a0，x40.0x40.(3)解：yx230x(x20)2300(0x40)，且二次项系数0，当x20时，y有最大值，最大值为300.一、 选择题1. (2018，北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系yax2bxc(a0)如图所示记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该
9、运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)第1题图A. 10 m B. 15 mC. 20 m D. 22.5 m【解析】 根据题意，知抛物线yax2bxc(a0)经过点(0，54.0)，(20，57.9)，(40，46.2)，则 解得所以所求水平距离x15.2. (2018，广西二模，导学号5892921)如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时水面宽4 m若水面下降1 m，则水面宽度为(A)第2题图A. 2 m B. 2 mC. m D. m【解析】 建立如答图所示的直角坐标系可设这条抛物线的解析式为yax2.把点(2，2)的坐标代入，得2a22.解得a.yx2.当y3时，x23.
10、解得x.水面下降1 m，水面的宽度为2 m.第2题答图3. (2018，哈尔滨道外区二模)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，点O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是yx22x3，则下列结论：柱子OA的高度为3 m；喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度；喷出的水流距水平面的最大高度是4 m；水池的半径至少要3 m才能使喷出的水流不至于落在池外其中正确的有(D)第3题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4
11、个【解析】 yx22x3(x1)24.当x0时，y3，即OA3 m故正确当x1时，y取得最大值，此时y4.故正确当y0时，0x22x3.解得x3或x1(舍去)故正确4. (导学号5892921)汽车刹车后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数解析式是s20t5t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是(B)A. 10 m B. 20 mC. 30 m D. 40 m 【解析】 s20t5t25(t2)220，汽车刹车后到停下来前进了20 m.5. (2018，唐山乐亭县二模)运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(m)与足球被
12、踢出后经过的时间t(s)之间的关系如下表：t/s01234567h/m08141820201814下列结论：足球距离地面的最大高度为20 m；足球飞行路线的对称轴是t；足球被踢出9.5 s时落地；足球被踢出7.5 s时，距离地面的高度是11.25 m其中不正确的结论有(B)A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个【解析】 设该抛物线的解析式为hat2btc.由题意，得解得ht29t.当t时，h取得最大值，此时h；该抛物线的对称轴是t；当h0时，得t0或t9；当t7.5时，h11.25.故错误，正确二、 填空题6. (2018，武汉)飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析
13、式是y60tt2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是 24 m.【解析】 y60tt2(x20)2600，当y取得最大值时，飞机停下来，即当t20时，飞机着陆后滑行600 m才停下来因此t的取值范围是0t20.当t16时，y576，所以最后4 s滑行的距离是60057624(m)7. (2018，沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB 150 m时，矩形土地ABCD的面积最大第7题图【解析】 设ABx m，则BC(9003x)m.由题意，得SABBCx(9003x)(x2300x)(x150
14、)233 750.当x150时，S取得最大值，此时，S33 750.AB150 m.三、 解答题8. (2018，滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系y5x220x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第8题图【思路分析】 (1)根据题目中的函数解析式，令y15即可解答本题(2)令y0，代入题目中的函数解析式即可解答本题
15、(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题解：(1)当y15时，155x220x.解得x1或x3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.(2)当y0时，05x220x.解得x0或x4.404(s)答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.(3)y5x220x5(x2)220，当x2时，y取得最大值，为20.答：在飞行过程中第2 s时，小球飞行高度最大，最大高度是20 m.9. (2018，合肥瑶海区三模)某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)，供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2
16、.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；(3)若要求0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值第9题图【思路分析】 (1)直接利用直角三角形面积求法得出答案(2)利用已知得出y35，进而解方程得出答案(3)利用配方法得出顶点式，再利用二次函数的增减性得出答案解：(1)由题意，得y(8x)(6x)2x214x48(0x6)(2)由题意，得y481335.x214x4835.解得x11，x213(不合题意，舍去)x的值为1.(3)yx214x48(x7)21.当0.5x1时，y随x的增大而减小，故当x0.5时，y取得最大值，为.所以改造后剩余油菜花
17、地所占面积的最大值为 m2.10. (2018，泰兴模拟，导学号5892921)冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家里后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子绳子的形状近似成了抛物线y0.1x2bxc，如图，已知BD8 m，绳子最低点离地面的距离为1 m.第10题图(1)求立柱AB的高度；(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子(如图)，MN的高度为1.85 m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应函数的二次项系数为0.25，顶点离地面1.6 m求MN与AB之间的距离【思路
18、分析】 (1)易得抛物线的顶点坐标为(4，1)，又由二次项系数为0.1，可得出抛物线的解析式，进而得出答案(2)利用待定系数法求出抛物线F1的解析式即可解决问题解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y0.1(x4)21，即y0.1x20.8x2.6.令x0，得y2.6.所以立柱AB的高度为2.6 m.(2)由题意可以设抛物线F1的解析式为y0.25x2mx2.6.1.6，m1.对称轴在y轴的右侧，m0.m1.抛物线F1的解析式为y0.25x2x2.6.令y1.85，则1.850.25x2x2.6.解得x11，x23.当x1时，不合题意，舍去x3.所以MN与AB之间的距离为3 m.1. (2018
19、，北京房山区模拟)小明以二次函数y2x24x8的图象为灵感设计了一款杯子，如图所示的为杯子的设计稿若AB4，DE3，则杯子的高CE为(B)第1题图A. 14 B. 11C. 6 D. 3【解析】 y2x24x82(x1)26，抛物线的顶点D的坐标为(1，6)AB4，点B的横坐标为3.把x3代入y2x24x8，得y14.CD1468.CECDDE8311.2. (2017，绍兴，导学号5892921)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m设饲养室的长为x m，占地面积为y m2.(1)如图，当饲养室的长为多少时，占地面积最大？
20、(2)如图，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确第2题图【思路分析】 (1)根据矩形的面积长宽，已知长为x m，则宽为 m，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x取某一值时，y有最大值(2)饲养室的长仍为x m，但长中所用建筑材料变成了(x2)m，所以宽就变成了 m与(1)同理，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x取某一值时，y有最大值与小敏的说法比较即可解：(1)因为yx(x25)2，所以当x25时，y有最大值所以当饲养室的长为25 m时，占地面积最大(2)因为yx(x26)2338，所以当x26时，y有最大值所以当饲养室的长为26 m时，占地面积最大因为262512，所以小敏的说法不正确
