1、1.3集合的基本运算l 考纲要求1理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集2能使用Venn图表示集合的并集与交集3灵活运用并集与交集的含义与性质解题l 知识解读知识点集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合CUAx|xU且xA知识点集合基本运算的常见性质1AAA,A2AAA,AA3ACUA,ACUAU,CU(CUA)A4ABABAABBCUACUBA(CUB)l 题型讲解题型一、集合的基本运算例
2、1(2021全国乙卷)已知集合Ss|s2n1,nZ,Tt|t4n1,nZ,则ST等于()A BS CT DZ例2(2022济南模拟)集合Ax|x23x40,Bx|1x5,则集合(CRA)B等于()A1,5) B(1,5)C(1,4 D(1,4)例3已知集合A1,2,3,Bx|(x1)(x2)0,xZ,则AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3例4已知全集UR,集合Ax|0x2,Bx|x2x0,则图中的阴影部分表示的集合为()A(,1(2,) B(,0)(1,2)C1,2) D(1,2题型二、利用集合的运算求参数的值(范围)例5已知集合Ax|xa,Bx|x23x20,若ABB
3、,则实数a的取值范围是()Aa2 Da2例6已知集合Ax|3x22x10,Bx|2axa3,若AB,则实数a的取值范围是()Aa Ba或aCa2 Da或a2例7已知集合A1,3,B1,m,ABA,则m()A0或 B0或3C1或 D1或3例8(2017全国卷)设集合A1,2,4,Bx|x24xm0若AB1,则B()A1,3 B1,0C1,3 D1,5题型三、集合的新定义问题例9已知集合AxN|x22x30,B1,3,定义集合A,B之间的运算“*”:A*Bx|xx1x2,x1A,x2B,则A*B中的所有元素数字之和为()A15 B16 C20 D21例10(多空题)设A,B是R的两个子集,对任意x
4、R,定义:m,n(1)若AB,则对任意xR,m(1n)_;(2)若对任意xR,mn1,则A,B的关系为_.例11某班共40人,其中24人喜欢篮球运动,16人喜欢乒乓球运动,6人这两项运动都喜欢,则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为()A17 B18 C19 D20l 达标训练1设集合A1,2,6,B2,4,CxR|1x5,则(AB)C()A2 B1,2,4 C1,2,4,6 DxR|1x52(2020四川成都模拟)已知全集UR,集合Ax|0x2,Bx|x2x0,则图中的阴影部分表示的集合为()A(,1(2,) B(,0)(1,2)C1,2) D(1,23已知Ax|x0或x3,Bx|xa1或
5、xa1,若A(CRB),则实数a的取值范围是()A1a2 B1a2Ca1或a2 Da24(2022南通模拟)设集合A1,a6,a2,B2a1,ab,若AB4,则a_,b_.5对于任意两集合A,B,定义ABx|xA且xB,A*B(AB)(BA),记Ax|x0,Bx|3x3,则A*B_.6对班级40名学生调查对A,B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成,另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人,问对A,B都赞成的学生有_人l 课后提升1(多选)已知全集U的两个非空真子集A,B满足(CUA)BB,则
6、下列关系一定正确的是()AAB BABBCABU D(CUB)AA2某班有学告50人,解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均对者有20人.则至少解对一题者的人数是( )A8 B22C30 D423(多选)已知集合P(x,y)|xy1,Q(x,y)|x2y21,则下列说法正确的是()APQRBPQ(1,0),(0,1)CPQ(x,y)|x0或1,y0或1DPQ的真子集有3个4(多选)(2022重庆北碚区模拟)已知全集UxN|0 x 8,A1,2,3,CU(AB)1,2,4,5,6,7,则集合B可能为()A2,3,4 B3,4,5C4,5,6 D3,5,65已知集合
7、Ax|8x10,设集合Ux|0x9,Bx|ax2a1,若(CUB)Ax|8x9,则实数a的取值范围是_6设数集M,N,且M,N都是集合Ux|0x1的子集,定义ba为集合x|axb的“长度”,则集合MN的长度的最小值为_1.3集合的基本运算l 考纲要求1理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集2能使用Venn图表示集合的并集与交集3灵活运用并集与交集的含义与性质解题l 知识解读知识点集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于
8、集合A的所有元素组成的集合CUAx|xU且xA知识点集合基本运算的常见性质1AAA,A2AAA,AA3ACUA,ACUAU,CU(CUA)A4ABABAABBCUACUBA(CUB)l 题型讲解题型一、集合的基本运算例1(2021全国乙卷)已知集合Ss|s2n1,nZ,Tt|t4n1,nZ,则ST等于()A BS CT DZ【答案】C【解析】方法一在集合T中,令nk(kZ),则t4n12(2k)1(kZ),而集合S中,s2n1(nZ),所以必有TS,所以TST.方法二S,3,1,1,3,5,T,3,1,5,观察可知,TS,所以TST.例2(2022济南模拟)集合Ax|x23x40,Bx|1x5
9、,则集合(CRA)B等于()A1,5) B(1,5)C(1,4 D(1,4)【答案】B【解析】因为集合Ax|x23x40x|x1或x4,又Bx|1x5,所以CRA(1,4),则集合(CRA)B(1,5)例3已知集合A1,2,3,Bx|(x1)(x2)0,xZ,则AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3【答案】C【解析】因为Bx|(x1)(x2)0,xZx|1x2,xZ0,1,A1,2,3,所以AB0,1,2,3例4已知全集UR,集合Ax|0x2,Bx|x2x0,则图中的阴影部分表示的集合为()A(,1(2,) B(,0)(1,2)C1,2) D(1,2【答案】A【解析】Bx
10、|x2x0x|x1或x0,由题意可知阴影部分对应的集合为CU(AB)(AB),ABx|1x2,ABR,即CU(AB)x|x1或x2,CU(AB)(AB)x|x1或x2,即(,1(2,)题型二、利用集合的运算求参数的值(范围)例5已知集合Ax|xa,Bx|x23x20,若ABB,则实数a的取值范围是()Aa2 Da2【答案】D【解析】集合Bx|x23x20x|1x2,由ABB可得BA,作出数轴如图可知a2.例6已知集合Ax|3x22x10,Bx|2axa3,若AB,则实数a的取值范围是()Aa Ba或aCa2 Da或a2【答案】B【解析】Ax|3x22x10,B,2aa3a3,符合题意;B,或解
11、得a或a3a的取值范围是a或a.例7已知集合A1,3,B1,m,ABA,则m()A0或 B0或3C1或 D1或3【答案】B【解析】ABA,BA,mA,m3或m,解得m0或3例8(2017全国卷)设集合A1,2,4,Bx|x24xm0若AB1,则B()A1,3 B1,0C1,3 D1,5【答案】C【解析】AB1,1B14m0,即m3.Bx|x24x301,3题型三、集合的新定义问题例9已知集合AxN|x22x30,B1,3,定义集合A,B之间的运算“*”:A*Bx|xx1x2,x1A,x2B,则A*B中的所有元素数字之和为()A15 B16 C20 D21【答案】D【解析】由x22x30,得(x
12、1)(x3)0,得A0,1,2,3因为A*Bx|xx1x2,x1A,x2B,所以A*B中的元素有011,033,112,134,213(舍去),235,314(舍去),336,所以A*B1,2,3,4,5,6,所以A*B中的所有元素数字之和为21例10(多空题)设A,B是R的两个子集,对任意xR,定义:m,n(1)若AB,则对任意xR,m(1n)_;(2)若对任意xR,mn1,则A,B的关系为_.【答案】(1) 0 (2) ACRB【解析】(1)ACRB(1)AB,则xA时,m0,m(1n)0,xA时,必有xB,mn1,m(1n)0综上可得:m(1n)0.(2)对任意xR,mn1,则m,n的值
13、一个为0,另一个为1,即xA时,必有xB,或xB时,必有xA,A,B的关系为ACRB例11某班共40人,其中24人喜欢篮球运动,16人喜欢乒乓球运动,6人这两项运动都喜欢,则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为()A17 B18 C19 D20【答案】B【解析】记全集U为该班全体同学,喜欢篮球运动的记作集合A,喜欢乒乓球运动的记作集合B,则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A(UB)(如图),故有18人l 达标训练1设集合A1,2,6,B2,4,CxR|1x5,则(AB)C()A2 B1,2,4 C1,2,4,6 DxR|1x5【答案】B 【解析】(AB)C1,2,4,61,51,2,42(2
14、020四川成都模拟)已知全集UR,集合Ax|0x2,Bx|x2x0,则图中的阴影部分表示的集合为()A(,1(2,) B(,0)(1,2)C1,2) D(1,2【答案】A【解析】Bx|x2x0x|x1或x0,由题意可知阴影部分对应的集合为CU(AB)(AB),ABx|1x2,ABR,即CU(AB)x|x1或x2,CU(AB)(AB)x|x1或x2,即(,1(2,)3已知Ax|x0或x3,Bx|xa1或xa1,若A(CRB),则实数a的取值范围是()A1a2 B1a2Ca1或a2 Da2【答案】D【解析】Ax|x0或x3,Bx|xa1或xa1,所以CRBx|a1xa1;又A(CRB),所以a13
15、,解得a2,所以实数a的取值范围是a2.4(2022南通模拟)设集合A1,a6,a2,B2a1,ab,若AB4,则a_,b_.【答案】22【解析】由题意知,4A,所以a64或a24,当a64时,则a2,得A1,4,4,故应舍去;当a24时,则a2或a2(舍去),当a2时,A1,4,8,B5,2b,又4B,所以2b4,得b2.所以a2,b25对于任意两集合A,B,定义ABx|xA且xB,A*B(AB)(BA),记Ax|x0,Bx|3x3,则A*B_.【答案】x|3x0或x3【解析】Ax|x0,Bx|3x3,ABx|x3,BAx|3x0A*Bx|3x0或x36对班级40名学生调查对A,B两事件的态
16、度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成,另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人,问对A,B都赞成的学生有_人【答案】18【解析】赞成A的人数为4024,赞成B的人数为24327,设对A,B都赞成的学生有x人,则x127xx24x40,解得x18l 课后提升1(多选)已知全集U的两个非空真子集A,B满足(CUA)BB,则下列关系一定正确的是()AAB BABBCABU D(CUB)AA【答案】CD【解析】令U1,2,3,4,A2,3,4,B1,2,满足(CUA)BB,但AB,ABB,故A,B均不正确;由(
17、CUA)BB,知CUAB,UA(CUA)(AB),ABU,由CUAB,知CUBA,(CUB)AA,故C,D均正确2某班有学告50人,解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均对者有20人.则至少解对一题者的人数是( )A8 B22C30 D42【答案】D【解析】如下图所示:至少解对一题的人数为:人,故选:D3(多选)已知集合P(x,y)|xy1,Q(x,y)|x2y21,则下列说法正确的是()APQRBPQ(1,0),(0,1)CPQ(x,y)|x0或1,y0或1DPQ的真子集有3个【答案】BD【解析】联立解得或PQ(1,0),(0,1),故B正确,C错误;又P,Q
18、为点集,A错误;又PQ有两个元素,PQ有3个真子集,D正确4(多选)(2022重庆北碚区模拟)已知全集UxN|0 x 8,A1,2,3,CU(AB)1,2,4,5,6,7,则集合B可能为()A2,3,4 B3,4,5C4,5,6 D3,5,6【答案】BD【解析】由UxN|0 x 8,于是得全集U1,2,3,4,5,6,7,因为CU(AB)1,2,4,5,6,7,则有AB3,3B,C不正确;对于A选项,若B2,3,4,则AB2,3,CU(AB)1,4,5,6,7,矛盾,A不正确;对于B选项,若B3,4,5,则AB3,CU(AB)1,2,4,5,6,7,B正确;对于D选项,若B3,5,6,则AB3
19、,CU(AB)1,2,4,5,6,7,D正确5已知集合Ax|8x10,设集合Ux|0x9,Bx|ax2a1,若(CUB)Ax|8x9,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】当B时,2a1a,解得a1,此时CUBU,(CUB)AUAx|8xa,解得a1,因为集合Ux|0x9,Bx|ax2a1,所以CUBx|0xa或2a1x9,因为(CUB)Ax|8x9,所以2a18,解得a,所以B时,1a,综上所述,实数a的取值范围是.6设数集M,N,且M,N都是集合Ux|0x1的子集,定义ba为集合x|axb的“长度”,则集合MN的长度的最小值为_【答案】【解析】在数轴上表示出集合M与N(图略),可知当m0且n1或n0且m1时,MN的“长度”最小当m0且n1时,MN,长度为;当n且m时,MN,长度为综上,MN的长度的最小值为