1、北京市师范大学第二附属中学2021届高三数学10月月考试题（含解析）一、选择题（共10小题；共40分）1. 设集合的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法解：因为NM.所以“aM”是“aN”的必要而不充分条件故选B2. 若，则（ ）A. 6B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用换底公式进行化简求值即可【详解】故选：D3. 已知，且则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.【详解】取，则，所以A选项错
2、误.取，则，所以B选项错误.由于在上递减，而，所以，故C选项正确.取，则，所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题.4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，那么不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据是定义在R上的奇函数，求得函数解析式，然后再由分段函数的定义域，分，三种情况讨论求解.【详解】设，则，所以，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式等价于或或，解得或或，综上：不等式的解集是或.故选：D【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求解析式以及分段函数与不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5. 已知
3、 （0，），2sin2=cos2+1，则sin=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和1关系得出答案【详解】，又，又，故选B【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉6. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用导数判断出函数在区间上为增函数，再解不等式，即得解.【详解】由题得在区间上恒成立，所以函数在区
4、间上为增函数，所以，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数在上单调递增，所以在上恒成立，求函数的导函数，参变分离求最值即可.【详解】解：因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.即，即，解得：或.检验，当时，不是常函数，所以成立.故选：D【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题.方法点睛：（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于0恒成立；（2）分类讨论或参变分离，求出最值即可.易错点睛：必须检验等
5、号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数.8. 数列的前n项和为，已知，且对任意正整数m，n，都有，若恒成立，则实数a的最小值为（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】根据，且对任意正整数m，n，都有，令，得到数列是等比数列，然后利用等比数列的前n项和公式求得Sn，再由恒成立求解.【详解】因为，且对任意正整数m，n，都有，令，得，令，得，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，因为，所以是递增数列，所以， 因为恒成立，所以，所以实数a的最小值.故选：A9. 函数的图象如图所示，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先
6、求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果.【详解】因为，所以，由图象可知：先减后增再减，所以先为负，再为正，最后又为负，所以，因为为的两个极值点，且，所以，所以，又因为，所以，故选：C.【点睛】易错点睛：分析函数与其导函数的关系时需注意：（1）的单调性和取值的正负相对应；（2）的极值点一定是的零点，但的零点却不一定是的极值点.10. 已知函数，且恒成立，那么m的最大值等于（ ）A. 8B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由，得，结合对数知识可得，利用基本不等式可得，从而可得.【详解】的定义域为，所以，由得，得或，因为，所以，所以，即，则，即，所以，当且仅当时，等号成立，而当
7、时，与矛盾，所以基本不等式中的等号取不到，所以，所以由恒成立，可得，则m的最大值等于.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方二、填空题（共5小题；共25分）11. 若集合，且，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】直接根据分析得解.【详解】因为
8、，且，所以实数a的取值范围是.故答案为：12. 设函数的最小值为2，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分别求和时函数的值域，再根据题意比较两部分的最小值，求的取值范围.【详解】当时，当时，由题意知，.故答案为：【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数的取值范围，属于基础题型.13. 记等差数列的前n项和为.若，则_.【答案】3【解析】【分析】根据题意，由为等差数列，结合等差数列的通项公式和前项和公式，列式求出和，即可求出.【详解】解：已知为等差数列，设公差为，则，解得：，所以.故答案为：3.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.14. 已知函数在上有增区间，则
9、a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】等价于存在使得成立，即成立，即得解.【详解】由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，所以.故答案为：【点睛】易错点点睛：本题是一个存在性的问题，存在使得成立，不是一个恒成立的问题，所以成立时，即，不是.遇到这样的题目，要注意区分存在性问题和恒成立问题.15. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为和在上有2个交点，根据函数的单调性求出的范围，从而求出的范围即可【详解】，若函数有两个极值点，则和在上有2个交点，时，即，递增，时，递减，故（1），而恒成立，所以，故答案为：【点
10、睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题三、解答题（共6小题；共85分）16. 已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列的公比为q，利用等比数列的性质求出公比，再由基本量运算求出首项，进而可得数列的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式计算即可【详解】（1）设数列的公比为q，由得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项式为.（2）.17. 在中，角所对的边分别为已知.（1）求A的大小；（2）如果，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用
11、余弦定理的变形：即可求解. （2）利用正弦定理求出，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）。由余弦定理可得，又因为，所以.（2）由，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以的面积.【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.18. 函数.（1）求函数定义域；（2）求的值；（3）求函数的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.【答案】（1）；（2）；（3）最小正周期；对称轴的方程为.【解析】【分析】（1）解不等式即得函数的定义域；（2）直接代入求值得解；（3）化简得，即得函数的最小正周期及其图象的所有对
12、称轴的方程.【详解】（1）由得所以，所以函数的定义域为.（2）.（3）因为，所以的最小正周期.因为函数的对称轴为，又由，得，所以的对称轴的方程为.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化简，三角函数的化简有“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”.本题从变角开始，比较方便.19. 已知函数，其中e是自然对数的底数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，分和分别写出函数的单调区间；（2）当时，函数在给定区间单调递增，可得函数的最小值；当时，比较极小值点与区间端点的大小，分
13、类讨论写出最小值【详解】（1）因为若，单调递增；若，在单调递增，单调递减；（2）由（1），得时，的最小值为时，最小值为时，最小值为【点睛】方法点睛：本题考查导数研究函数的单调性与最值问题，设函数在上连续，在上可导，则：1.若，则在上单调递增；2.若，则在上单调递减20. 已知，.（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）构造函数，利用二阶导数的方法证得，由此证得结论成立.（2）先求得时，的取值范围，再结合（1）的结论，求得的最大值.【详解】（1）设，注意到.设，在上递减，所以存在唯一零点，使得.则在上递增，在上递减.，所以在上恒
14、成立，所以在上递增.所以，即，所以当时.（2）因为对任意，不等式恒成立，即恒成立.令，则，由（1）知，所以，由于为整数，所以.因此.下证明在区间恒成立即可.由（1）知在区间恒成立，即，故，设，则，所以在上递减，所以，所以在上恒成立.综上所述，整数的最大值为.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题.21. 已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且.（1）若，比较与的大小关系；（2）若.判断是否为数列中的某一项，并请说明理由；若是数列中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）.【答案】（1）答案见解析；（2）是中的第项，理由见解析；（3）或.
15、【解析】【分析】（1）根据等差、等比中项的知识，分别用表示出，结合基本不等式以及数值的正负，确定出与的大小；（2）根据等差、等比数列的通项公式求解出的关系并求解出的值，由此用含有的式子表示出，最后根据的通项公式进行分析即可；假设，则可得，由此写出正整数的取值集合.【详解】（1）因为，当，此时，所以，当，此时，又因为等差数列公差不为，所以，所以，所以，综上可知：；（2）因为，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，所以，所以，所以，所以；是中的某一项，理由如下：设为中的某一项，所以 ，所以，所以，所以为数列的第项；设是数列第项，所以，解得：或，所以正整数m的集合为或.（理由如下仅供参考：当为奇数时，此时，所以，所以，当为偶数时，下用数学归纳法证明恒有解，当时，设当时，能被整除，当时，因为能被整除，也能被整除，且，所以可被整除，所以时成立，所以恒有解.综上可知：正整数m的集合为或.）【点睛】易错点睛：本题考查等差、等比数列的综合应用，属于难题.解答该问题需要注意的事项有：（1）利用等比中项求值的时候，要注意分析值的正负，不然容易漏解；（2）利用基本不等式比较大小时要注意分析等号能否取到；（3）确定是否为数列中的某一项问题，可以先分析数列的通项，然后令通项等于对应数值，看是否有合适的解，由此作出判断.
