1、上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1. 已知向量与共线，则_【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量与共线，所以，故故答案为：.2. 已知是第四象限角，化简_【答案】【解析】【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.【详解】因为，且是第四象限角，则，即，所以故答案为:3. 已知扇形的圆心角，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是_.【答案】【解析】【分析】先结合求出，再由求解即可【详解】由，则故答案为：【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题4. 已知，则的单位向量的坐标为_【答案】【解
2、析】【分析】先由向量的线性运算求得，再由模的坐标表示求得，从而求得所求.【详解】因为，所以，故，则的单位向量的坐标为故答案为：.5. 若函数的最小值为1，则实数_.【答案】5【解析】【分析】由辅助角公式得的最小值为，由此可求得值【详解】，其中，且终边过点所以，解得故答案为：5【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键设，则，其中，角终边过点由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质6. 若关于的方程无解，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由三角函数的值域得到，再由方程无解得到或，解之即可.【详解】因为，所以由方程无解可得或，因为指数函数在上单调递减，且恒成立，所以由得
3、，由可知，综上：，则.故答案为：.7. 在中，则_【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形8. 已知，,若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于_.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化为，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得,，,当且仅当，即时，取等号的最大值为,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.9. 若，且，求_.【答案】【解析】【分析】将等式化简可得,可得,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题, ,即，又,则,即,则,所以故答案为【点睛】本题考查
4、对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力10. 将函数 (0)的图像向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象若yg(x)在上为增函数，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移个单位，可知，yg(x)在上为增函数，可知周期，所以，即，的最大值为考点：三角函数的性质与图像的平移11. 设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】利用可设，设的夹角为，则的夹角为，的夹角为或，利用得，建立方程关系求解即可.【详解】，设，则，是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设的夹角为，则的夹角为，的夹角为或，解
5、得，或（舍去）.所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12. 已知、五个点，满足，则的最小值为_【答案】#【解析】【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可.【详解】由题意设，则，设，如图，因为求的最小值，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为故答案为：.【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.
6、 设m，n为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正数，使得，所以，同向，所以，即充分性是成立的，反之，当非零向量夹角为锐角时，满足，而不成立，即必要性不成立，所以“存在正数，使得”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14. 函数的一个对称中心是（ ）A. B. C
7、. D. 【答案】C【解析】【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断.【详解】令，解得，所以函数图象的对称中心是，令,得函数图像的一个对称中心是，故选：C.15. 将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依题意可得，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为，由图象得：，解得：，又有图可知，最小正周期满足，即结合得：平移后的图象所对应的函数的解析式为：.故选：C16. 设是平面直角坐标系中不同的四点，若且，则称是关于
8、的“好点对”已知是关于的“好点对”, 则下面说法正确的是A. 可能是线段的中点B. 可能同时在线段延长线上C. 可能同时在线段上D. 不可能同时在线段的延长线上【答案】D【解析】【详解】试题分析：解：若是线段的中点，则,从而这是不可能的，所以选项A不正确.若 同时在线段延长线上，则有，与矛盾，所以选项B不正确.若 同时在线段上，则有，所以与矛盾，所以选项C不正确.若同时在线段的延长线上，则有，所以与矛盾，所以选项D正确.故选：D考点：数乘向量的概念与性质.三、解答题（本大题共4题，满分56分）17. 已知，且（1）求的值；（2）求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用将所求式子转
9、化为齐次分式，从而利用即可得解；（2）先由及求得，从而得到，再利用正切的和差公式求得，进而得解.【小问1详解】因为，所以【小问2详解】因，所以，又因为，所以，所以，又，所以由，解得，所以，又，故，所以18. 已知向量，向量，函数（1）求函数的最小正周期，以及在上的单调区间；（2）已知分别为内角、的对边，且为锐角， 恰是在上的最大值，求的面积【答案】（1）的最小正周期.在上递增，在上单减. （2）或.【解析】【分析】（1）先求出，即可求出最小正周期和单调区间；（2）先求出角A，再利用正弦定理求出角C，即可求出B，进而求出的面积【小问1详解】因为向量，向量，函数，所以所以函数的最小正周期.令，因为
10、，所以.因为在上递增，在上单减，所以在上递增，在上单减.小问2详解】由题意及（1）中的单调性，可得：.在中，由正弦定理得：，解得：.所以或.当时，,所以的面积;当时，,所以的面积.故的面积为或.19. 如图，梯形，为中点，（1）当时，用向量表示的向量；（2）若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得的最小值及相应的值.【小问1详解】过作交于，如图，因为，所以，则四边形是
11、平行四边形，故，即是的中点，所以，当时，所以.【小问2详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最小值所以的最小值为，此时20. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：00100000（1）请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式；（2）将函数图象向右平移个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值【答案】（1），函数的解析式为； （2）； （3）, 在共有个不同的零点.【解析】【分析】（1）利用“五点法”列方程
12、求出、的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出，列不等式组即可求出实数的取值范围；（3）令,考虑方程的根的情况，或，分类讨论：，和，,分别求解.【小问1详解】由“五点法”及表格数据分析可得：.所以.由，解得：，所以.由，解得：.综上所述：，函数解析式为.【小问2详解】由（1）知,将函数的图象向右平移个单位，得到，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，所以.当时，.因为在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以.即实数的取值范围为.【小问3详解】由（2）可知：，周期为.当时,令,考虑方程根的情况：因为，所以方程在R上必有两个不同的实数根.因为在有奇数个零点,所以或.若，则方程在共有4个不同的实数根,在有0个或2个实数根.所以在有个根或个根，与有奇数个零点相矛盾，舍去；若，则在在共有2个不同的实数根, 在有0个或2个实数根.所以在有个根或个根，与有奇数个零点相矛盾，舍去.同理：也不符合题意，舍去.所以或若,则,方程的根.方程在共有3个不同的实数根,而在上无解，有一个不同的根, ,所以在在个根，与有奇数个零点相矛盾，舍去.若,则,此时的根为.方程在共有3个不同的实数根,而在上有两个不同的根, 无解,所以在在个根，符合题意.综上所述： , 在共有个不同的零点.
