1、山西省长治市第二中学校2019-2020学年高二数学下学期摸底考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】按多项式的乘法法则进行运算, 把换成，得到结果.【详解】故选：A【点睛】复数的乘法(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把换成，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把的幂写成简单的形式；(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配
2、律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立2.在极坐标系中，两点间的距离为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】再极坐标系中利用余弦定理即可求解.【详解】，所以.故选：D【点睛】本题考查了极坐标系的简单应用，同时考查了余弦定理，属于基础题.3.若直线l的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为( )A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】根据直线的参数方程直线的斜率，再利用直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l的参数方程为，所以，设直线的倾斜角为，则，所以故选：B【点睛】本题考查了直线的参数方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题
3、.4.若复数（为虚数单位），为其共轭复数，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.5.复数的值是( )A. 4B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，考查了基本运算能力，属于基础题.6.在极坐标系中，圆圆心到直线的距离为( )A B. C. C.D. 【答案】A【解析】【分析】首先将极坐标方程化为直角坐标方程，然后再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】，
4、即，整理可得，圆的圆心为，半径为. 直线，则，所以圆心到直线.故选：A【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的标准方程求圆心与半径、点到直线的距离公式，属于基础题.7.如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于，不妨令，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论.【详解】解：由于，不妨令，可得，故A不正确.可得，故B不正确.可得，故C不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.8.参数方程（为参数）化成普通方程是( )A. B. C. D. 【答
5、案】D【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化简消参即可求解.【详解】，由可得故选：D【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题.9.若，是正数，且，则有( )A. 最大值8B. 最小值C. 最小值8D. 最大值【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，是正数，且，所以，解得，即，当且仅当时取等号， 所以有最小值8.故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.10.若实数、满足：，则的取值范围是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意可设 ，所以 （其中 ），所以选A点睛
6、：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：， 圆参数方程：，直线参数方程：11.对任意实数，不等式恒成立的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的性质求出的最小值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】解：，不等式恒成立等价于，不等式恒成立的一个充分不必要条件是，故选：B【点睛】考查绝对值的性质、充分条件和必要条件的定义；基础题.12.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数,根据题意分析的单调
7、性与奇偶性,再数形结合求解不等式的解集,进而得到的解集即可.【详解】构造函数,因为,故为奇函数.又.故当时,单调递减.又,再根据奇偶性画出的简图.易得的解集为,即不等式的解集是.故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数解决抽象函数不等式的问题,需要根据所给的导数不等式的结构构造出,再分析单调性与奇偶性,画出草图分析.属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置13.在同一直角坐标系下，曲线经过伸缩变换后的曲线方程是_.【答案】【解析】【分析】由伸缩变换可知 ，代入曲线后就是变换后的曲线方程.【详解】由伸缩变换可知 ，代入曲线，可得，所以伸缩变换后的曲线方
8、程是.故答案为：【点睛】本题考查根据伸缩变换求变换后的解析式，属于基础题型，本题的关键是分清变换前，后的变量，否则容易出错.14.已知纯虚数满足，则为_.【答案】【解析】【分析】由题可设，则可得，求出即可得.【详解】由题可设，又得，解得：，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数模的计算，考查了学生的运算求解能力.15.极坐标方程表示的曲线为_.【答案】一条直线和一个圆【解析】【分析】由题可得或，故可判断方程表示的曲线，也可以化为直角坐标方程判断曲线的形状.【详解】由得，所以，得或，由化为直角坐标方程为，表示一条直线；由得，化为，即，表示圆；所以表示的曲线为一条直线和一个圆.故答案
9、为：一条直线和一个圆【点睛】本题主要考查了极坐标系下的曲线方程，考查了极坐标与直角坐标的转化，二倍角公式，考查了学生对基础知识的掌握程度.16.设、是正实数，以下不等式；恒成立的序号为_.【答案】【解析】【分析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式，正确的结论给出证明，错误的结论举出反例即可.【详解】由于a、b是正实数，考查所给的命题：当时，不满足，所以错误；，恒成立，所以正确；当时，不满足，所以错误；恒成立，所以正确；综上可得，恒成立的序号是和.故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，基本不等式求最值的方法等知识，考查学生的逻辑推理能力和计算求解能力.三、解答题:本大题共7
10、0分17.实数取什么值时，复数.（1）表示纯虚数；（2）表示的点位于第三象限.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得答案；（2）由可得答案.【详解】（1）由得，；（2）由得，.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题.18.已知直线经过点，倾斜角.（1）写出直线的参数方程；（2）设直线与圆相交于两点，求线段的长度.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】【分析】（1）直接根据参数方程的标准形式，写出答案即可；（2）法1：将直线参数方程的标准形式代入圆方程中，利用参数的几何意义，即可得答案；法2：将直线的直角坐标方程，代入圆方程，利用弦长公式求解.【详解】（
11、1）直线的参数方程为（为参数），即（为参数）；（2）法1：圆的方程可化为， 将直线的参数方程（为参数）代入，整理得，则线段；法2：圆的方程可化为，圆心到直线的距离为，所以线段.【点睛】本题主要考查直线的参数方程，参数的几何意义，圆的弦长的计算，考查转化与化归思想，考查学生的运算求解能力.19.已知函数f（x）|2x+3|+|2x1|（1）求不等式f（x）6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）|m1|的解集非空，求实数m的取值范围【答案】（1）x|2x1；（2）m3或m5【解析】【分析】（1）把作为一个数和，利用绝对值的几何意义解不等式；（2）问题可化为，同样利用绝对值的几何意义求出函数最小值
12、，再解绝对值不等式可得【详解】（1）不等式f(x)6，即|2x+3|+|2x1|6不等式的几何意义，是数轴是的点2x，到3与1的距离之和不大于6，42x2，解得2x1，不等式的解集为x|2x1；（2）函数f(x)|2x+3|+|2x1|由绝对值的几何意义可知：f(x)min=4，关于x的不等式f(x)|m1|的解集非空，只须：4|m1|，解得m3或m5【点睛】本题考查解绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，解题方法是利用绝对值的几何意义求解掌握绝对值的几何意义是解题关键20.在极坐标系中，曲线，的极坐标方程为，.（1）求曲线和的交点的极坐标；（2）过极点作动直线与曲线交于点，在上取一点，使，求
13、点的轨迹的直角坐标方程.【答案】（1），；（2），（且）.【解析】【分析】（1）曲线C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，即可求出公共点，再转化为极坐标即可；（2）设，则，利用的极坐标方程，采用相关点法即可得点的轨迹方程【详解】（1），即，由得，所以或，解得：或，和交点的极坐标为，；（2）设，则即，因为点在曲线上，所以，将代入，得，即为点的轨迹方程，化为直角坐标方程为，（且）.【点睛】本题主要考查极坐标下曲线交点的求解，涉及极坐标下轨迹方程的求解，考查了相关点法求解轨迹，考查了转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力.21.在平面直角坐标系中，已知点，为动点，且直线与直线的斜率之积为.（1）
14、求动点的轨迹的方程；（2）设过点直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点的坐标为，由题可得，化简即得动点的轨迹的方程；（2）当直线的斜率不存在时，知点的纵坐标为0；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立可得，依条件求出直线的垂直平分线，算出点的纵坐标，即可求出范围.【详解】（1）设动点的坐标为，依题意可知，整理得，所以动点的轨迹的方程为（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为0；当直线的斜率存在时，设直线的方程为.将代入并整理得，设，则，设的中点为，则，所以由题意可知，又直线的垂直平分线的方程为.令解
15、得，当时，因为，所以，当时，因为，所以，综上所述，点纵坐标的取值范围是.【点睛】本题主要考查了动点的轨迹方程的求法，考查了点的纵坐标的取值范围的求解，综合考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的运算求解能力.22.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求最小值.【答案】(1) 的单调减区为，单调增区间为,(2) 的最小值为【解析】【分析】（I）代入的值，写出函数的解析式，对函数求导，求出导函数大于0以及小于0的解，即可得到单调区间（II）函数小于0在一个区间上不恒成立，根据函数在这个区间上没有零点，因此在恒成立，分离参数，构造新函数，对函数求导，利用求最值的方法求出函数的范围即可【详解】（1）当时，则，由，得，由，得，故的单调减区为，单调增区间为.（2）因为，所以在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对恒成立，令，则，再令，故在上为减函数，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.
