1、第2课时 函数的导数与最值主题 函数的最值1.观察图中在a,b上函数y=f(x)的图像,找出它们的极大值和极小值.基础预习初探提示:f(c),f(e)是函数y=f(x)的极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)的极大值.2.观察1中函数y=f(x)的图像,你能找出函数f(x)在区间a,b上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?提示:函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是f(g),最小值是f(b).若区间改为(a,b),则f(x)有最大值f(g),无最小值.3.观察如图所示函数y=f(x)的图像,该函数有最大值吗?提示:由图可见在最高点处图像是间断的
2、,因此该函数没有最大值.结论:1.函数有最值的条件如果在区间a,b上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2.函数f(x)在区间a,b上的最值(1)函数f(x)在闭区间a,b上的最值假设在区间a,b上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,该函数在a,b上一定能够取得_和_,若函数在(a,b)上是可导的,该函数的最值必在极值点或区间端点取得.最大值最小值(2)求可导函数在a,b上的最大(小)值的步骤求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【对点练
3、】1.下列说法正确的是()A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.2.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为区间(a,b)为开区间,所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值,但函数有极大值不一
4、定有最大值.3.函数f(x)=(1-x)ex有()A.最大值为1B.最小值为1C.最大值为eD.最小值为e【解析】选A.f(x)=-ex+(1-x)ex=-xex,当x0;当x0时,f(x)0得x ;令f(x)0得0 x 时,y0,所以y在上单调递增,因此,函数y在-2,+)上只有最小值-28 ,无最大值.【类题通法】闭区间a,b上连续的函数f(x)必有最值(1)给定的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值.如f(x)=,x(0,1),f(x)在区间(0,1)内连续,但没有最大值和最小值(如图1).图1图2(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点,
5、也不能保证f(x)有最大值和最小值,如函数f(x)=.在-1,1上有间断点,没有最小值(如图2).(3)若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.【定向训练】(1)函数y=在0,2上的最大值是()A.当x=1时,y=B.当x=2时,y=C.当x=0时,y=0D.当x=时,y=(2)求函数f(x)=x3-4x+4在0,3上的极值及最大值与最小值.【解析】(1)选A.y=令y=0,得x=1.因为x=0时,y=0,x=1时,y=,x=2时,y=,所以最大值为(x=1时取得).(2)f(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f(x)=0,解得x1=-2(舍去)
6、,x2=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x0(0,2)2(2,3)3f(x)-0+f(x)4单调递减极小值单调递增1所以函数f(x)=x3-4x+4在0,3上有极小值,且f(x)极小值=,最大值为4,最小值为.探究点二 与参数有关的最值问题【典例2】(1)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在-2,2上的最大值.(2)设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0af(2)f(-2),所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3.所以当x=0时,f(x)max=3.(2)f(x)=-x2+4ax-3a2.令
7、f(x)=0,解得x=a或x=3a,x0,3a,列表如下:x0(0,a)a(a,3a)3af(x)-0+0f(x)ba3+bb由表知:当x(0,a)时,函数f(x)单调递减;当x(a,3a)时,函数f(x)单调递增.所以当x=a时,f(x)的最小值为a3+b;当x=0或x=3a时,f(x)的最大值为b.【类题通法】已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.【定向训练】已知函数f(x)=lnx-.(1)当a=1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在
8、区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=lnx-x+1,定义域为(0,+),则f(x)=-1,令f(x)=0得x=1.当x(0,1)时f(x)0,f(x)单调递增;当x(1,+)时f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(1)=0.(2)由题意知,方程f(x)=lnx-=0在(2,e)上有实根.因为lnx0,所以方程可转化为a=.设g(x)=,则g(x)=设h(x)=lnx+-1,则h(x)=-.当2x0,所以h(x)在(2,e)上单调递增.所以h(x)h(2)=ln2-0,于是g(x)0,所以g(x)在(2,e)上单调递增,所以g(2)g
9、(x)g(e),即g(x)C.m D.m2时,方程g(x)=0的根为x1=0,此时,若x(0,x2),则g(x)0,故g(x)在区间(0,x2)内单调递减,所以x(0,x2)时,g(x)g(0)=0,即f(x)ax,与题设f(x)ax相矛盾.综上所述,满足条件的实数a的取值范围为a2.【类题通法】恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)f(x)max,则上面的不等式恒成立.(2)要使不等式f(x)h在区间m,n上恒成立,可先在区间m,n上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)minh,则不等式f(x)h恒成立.【定向训练】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在
10、x=1及x=2时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若对于任意的x0,3,都有f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0.所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.所以当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x0,3,都有f(x)c2恒成立,所以9+8cc2,解得c9.因此c的取值范围为(-,-1)(9,+).【课堂小结】课堂素养达标1.函数f(x)=(1+x)ex有()A.最大值为e-2B.最大值为e-1C.最小值为-e2D.最小值为-e-2【解析】选D.f(x)=(1+x)ex+ex=ex,当x-2时f(x)-2时f
11、(x)0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递减,所以f(x)有最小值,为f(-2)=-e-2.2.函数f(x)=x3-3x(|x|1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x(-1,1)时,f(x)0时,f(x)2恒成立,则实数a的取值范围是_.【解析】由f(x)=+2ln x,得f(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+),且a0,令f(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0 x 时,f(x)时,f(x)0.故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln a+1.要使f(x)2恒成立,需ln a+12恒成立,则ae.答案:e,+)本课结束
