1、6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1 导数与函数的单调性新课程标准素养风向标1.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间1.通过数与形的研究,探索导数与函数单调性的关系(数学抽象)2.通过新旧方法的比较,体会导数应用的优越性(数学运算)3.通过典型问题的解决,强化导数在函数单调性中的应用意识(数学运算)主题1 函数的单调性与导数的关系1.观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系,(1)观察图像,完成下列填空.基础预习初探图中的函数y=x的导函数y=_,此函数的单调递增区间为_;图中的函数y=
2、x2的导函数y=_,此函数的单调递增区间为_,单调递减区间为_.图中的函数y=x3的导函数y=_,此函数的单调递增区间为_;图中的函数y=的导函数y=_,此函数的单调递减区间为_.1(-,+)2x(0,+)(-,0)3x2(-,+)(-,0),(0,+)(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系?提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数单调递增,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数单调递减.2.观察图像,完成下表:区间(-,a)(a,b)(b,+)y=f(x)增_增切线斜
3、率_负正f(x)_0减正00单调递_f(x)0,故函数在(0,6)上单调递增.2.若函数f(x)=ln x+x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为()A.2,+)B.(2,+)C.(-,2)D.(-,2【解析】选B.由f(x)=lnx+x2-bx,可得f(x)=(x0),由题意可得存在x0,使得f(x)=0,使得x2-bx+1x+,由对勾函数性质易得b2.【补偿训练】函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为()A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增【解析】选C.y=-6x,故当x(-1,0)时,y0;当x(0,1)时,y0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大
4、小作对比,你发现了什么?提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.结论:函数变化的快慢与导数间的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就比较“平缓”.绝对值较大【对点练】1.函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f(x)的图像可能是()【解析】选D.从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-,0)上是减函数,f(x)0;在区间(x1,x2)上是减函数,f(x)0.结合选项可知,只有D项满足.2.已知导函数y=f(x)的图像如图所示,请根据图像写出原函数y=f(x)的单调递增
5、区间是_.【解析】从图像可知当-1x5时f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,2),(5,+).答案:(-1,2),(5,+)核心互动探究探究点一 函数单调区间的判断及求解【典例1】(1)设f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数(2)求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间.【思维导引】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x的奇偶性,利用导数判断其单调性.(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(
6、-x)=-(x-sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f(x)=1-cos x0,所以f(x)单调递增,选B.(2)f(x)=3x2-2ln x的定义域为(0,+),则f(x)=由f(x)0得6x2-20,即x2 则所以递增区间为由f(x)0得6x2-20,即x20,所以0 x0或f(x)0,得x1,所以函数的单调递增区间为和(1,+).2.函数y=的单调递减区间是_.【解析】函数定义域为(-,0)(0,+),y=令y0,得x0时,f(x)=x+0恒成立,这时函数只有单调递增区间(0,+);当a0,得x ;由f(x)=x+0,得0 x ,所以当a0时,单调递增区间为(0,+),无单
7、调递减区间;当a0,解得x1;由f(x)0,解得-1x0,得x-1;令y0,得x0,解得x-或0 x ,令y 或-x0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;若f(x)0且越来越大.f(x)0且越来越小.函数值减小得越来越快,函数值减小得越来越慢,f(x)0且越来越小,f(x)0在-1,1上恒成立,确定a的取值范围.(2)把f(x)在区间(0,1上单调递减,转化为f(x)0对任意x(0,1恒成立.【解析】(1)f(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间-1,1上单调递增,所以f(x)=3ax2+10在-1,1上恒成立.当x=0时,显然成立,当x0时,a-.因为-在x-1,0)(0,1的最大值为
8、-,所以a-.故a的取值范围是.(2)f(x)=2x+a-.因为f(x)在区间(0,1上单调递减,所以f(x)0对任意x(0,1恒成立,即2x+a-0对任意x(0,1恒成立,所以a -2x对任意x(0,1恒成立.令g(x)=-2x,所以ag(x)min,易知g(x)在(0,1上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a0(或f(x)0内恒成立,因此可以得到a-在x0时恒成立,a满足:a 因为x0,所以,当且仅当x=时等号成立.所以有,因此实数a的取值范围是a-2 .答案:a-2【课堂小结】课堂素养达标1.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,则函数f(x)的单调递增区间是()A.(3
9、,9)B.(-,-1),(3,+)C.(-1,3)D.(-,3),(9,+)【解析】选B.因为f(x)=x3-3x2-9x,所以f(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1).令f(x)0,知x3或x-1.2.已知二次函数f(x)的图像如图所示,则其导函数f(x)的图像大致形状是()【解析】选B.根据图像可设f(x)=a(x+1)(x-1)(a0),则f(x)=2ax(a0).3.函数f(x)=xln x的单调递减区间为_.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ln x+1.令f(x)0得x0,所以f(x)的单调递减区间为.答案:4.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是_.【解析】因为y=-4x2+a,且y有三个单调区间,所以方程y=-4x2+a=0有两个不等的实根,所以=02-4(-4)a0,所以a0.答案:(0,+)5.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调函数,求b的取值范围.【解析】若函数是单调递增函数,则y0恒成立,即x2+2bx+b+20恒成立,所以=4b2-4(b+2)0,所以-1b2,由题意f(x)不单调,则b-1或b2.本课结束
