1、第二章函数、导数及其应用第十二节 导数的应用基础回扣自主学习热点命题深度剖析高考明方向1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)备考知考情 由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性,重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题,其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查,故备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系,强化导数的工具性的作
2、用另外,导数常与解析几何、不等式、方程相联系因此,要加强导数应用的广泛意识,注重数学思想和方法的应用.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知 识 梳 理知识点一函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导,则(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内(2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内(3)若f(x)0,则f(x)在这个区间内是.单调递增单调递减常数函数知识点二函数的导数与极值的关系(1)函数的极值已知函数yf(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近所有点x,都有,那么称函数f(x)在x0处取极大值,记作,并把x0称为函数f(x)的一个;如果在x0附近都
3、有,那么称函数f(x)在点x0处取极小值,记作,并把x0称为函数f(x)的一个f(x)f(x0)y极小值f(x0)极小值点(2)求可导函数极值的步骤求导数f(x);求方程的所有实数根;对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负,那么f(x0)是;如果f(x)的符号由负变正,那么f(x0)是如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变,那么f(x0).f(x)0极大值极小值不是极值知识点三函数的导数与最值的关系(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的
4、最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)求可导函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求f(x)在(a,b)内的;将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值极值f(a),f(b)知识点四生活中的优化问题(1)生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点(2)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤对 点 自 测知识点一函数的导数与单调性的关系1.判一判(1)f(x)0是f(x)为增函
5、数的充要条件()(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性()(3)函数y12x2lnx的单调递减区间为(0,1()答案(1)(2)(3)2已知a0,函数f(x)x3ax在1,)上是单调增函数,则a的最大值是_解析 f(x)3x2a在x1,)上f(x)0,则f(1)0a3.答案 3知识点二函数的导数与极值的关系3.函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0解析 f(x)x42x23,由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0,得x0或x1或x1.又当x1时f(x)0,当1x0,当0 x1时,f(x)1时,f(x)0,x0,1,1都是f(x)的
6、极值点答案 C4设函数f(x)xex,则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析 求导得f(x)exxexex(x1),令f(x)ex(x1)0,解得x1,易知x1是函数f(x)的极小值点答案 D知识点三函数的导数与最值的关系5.函数yx2cosx在区间0,2 上的最大值是_解析 y12sinx,令y0,且x0,2,得x6,则x0,6 时,y0;x6,2 时,ya,则实数a的取值范围是_解析 f(x)3x2x2,令f(x)0,得3x2x20.解得x1或x23.又f(1)72,f23 15727,f(1)112,f(2)7,
7、故f(x)min72,a72.答案,72知识点四生活中的优化问题7.从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A12 cm3B72 cm3C144 cm3D160 cm3解析 设盒子容积为y cm3,盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160 x(0 x0是f(x)为增函数的充要条件吗?若不是,那其充要条件是什么?f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0),x
8、(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.问题2 由函数单调性确定参数取值范围的方法是什么?(1)利用集合间的包含关系处理:yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题:即利用“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解高 频 考 点考点一利用函数单调性确定函数的图象【例1】已知函数f(x)的导函数为f(x),若yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的图象可能是()A B C D听 课 记 录 由函数f(x)的导函数yf(x)的图象自左至右是先增后减,可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左
9、至右先增大后减小,观察图象可知只有B符合故选B.答案 B【规律方法】已知yf(x)的图象识别yf(x)的图象,关键是理解导函数的图象与函数图象的升降关系,本例中导函数yf(x)的图象先递增后递减,且区间具有对称性,从而可得yf(x)图象的斜率变化情况也应该是先递增后递减,并注意图象的对称性,正确的选项就不难得到变式思考 1 已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示,则f(x)的图象可能是()AB CD解析 当x0时,由导函数图象知f(x)ax2bxc0时,由导函数f(x)ax2bxc的图象可知,导函数在区间(0,x1)内的值是大于0的,则在(0,x1)内函数f(x)单调递增,
10、排除C.选D.答案 D考点二求函数的单调区间【例2】(理)(2014湖南卷)已知常数a0,函数f(x)ln(1ax)2xx2.讨论f(x)在区间(0,)上的单调性听课记录 f(x)a1ax 2x22xx22ax24a11axx22.(*)当a1时,f(x)0.此时,f(x)在区间(0,)上单调递增当0a1时,由f(x)0得x12 1aa(x22 1aa 舍去)当x(0,x1)时,f(x)0.故f(x)在区间(0,x1)上单调递减,在区间(x1,)上单调递增综上所述,当a1时,f(x)在区间(0,)上单调递增;当0a0),则h(x)1x2 1x 0,即h(x)在(0,)上是减函数由h(1)0知,
11、当0 x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)变式思考 2(1)(理)函数f(x)x22mlnx(m0)的单调递减区间为()A(0,)B(0,m)C(m,)D(0,m)(m,)(1)(文)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(,2)B(0,3)C(1,4)D(2,)(2)已知函数f(x)alnx2a2x x(a0),讨论f(x)的单调性(1)(理)解析 由条件知函数f(x)的定义域为(0,)因为m0,x2.f(x)的单调递增区间为(2,)答案 D(2)解 依题意得函数的定义域为(0,)因为f(x)
12、ax2a2x2 1x2ax2a2x2xax2ax2(x0)当a0时,由f(x)0,及x0得x2a;由f(x)0得0 x0时,函数f(x)在(2a,)上单调递增,在(0,2a)上单调递减当a0及x0得xa;由f(x)0得0 xa.所以当a0时,函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增综上所述,当a0时,函数f(x)在(2a,)上单调递增,在(0,2a)上单调递减考点三已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】(2015山西诊断)已知函数f(x)lnxa2x2ax(aR)(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(1,)上是减函数,求实数a的取值范围听 课
13、记 录(1)当a1时,f(x)lnxx2x,其定义域是:(0,)f(x)1x2x12x2x1x,令f(x)0,即2x2x1x0,解得x12或x1.x0,x1.当0 x0;当x1时,f(x)0,f(x)在区间(1,)上为增函数,不合题意当a0时,f(x)0(x0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0),即x1a,此时f(x)的单调递减区间为1a,.由1a1,a0,得a1.当a0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0),即x 12a,此时f(x)的单调递减区间为 12a,.由 12a1,a0(f(x)0,求函数f(x)的单调区间;设函数g(x)f(x)2x,且g(x)在区间(2,1)内存在单调递减
14、区间,求实数a的取值范围(1)解析 函数的导数f(x)x bx2,要使函数在(1,)上是减函数,则f(x)xbx2 0在(1,)上恒成立,即bx2x,因为x1,所以x210,即bx(x2)成立设yx(x2),则yx22x(x1)21.因为x1,所以y1.所以要使bx(x2)成立,则有b1.答案 C(2)解 f(x)x2axb,由题意得f01,f00,即c1,b0.由得,f(x)x2axx(xa)(a0)当x(,0)时,f(x)0,当x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(,0),(a,),单调递减区间为(0,a)g(x)x2ax2.依题意,存在x(2,1),使不等式g(x)x2ax20成立,即x(2,1)时,ax2x max2 2,当且仅当“x2x”即x 2时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(,2 2).