1、第二章函数、导数及其应用第十二节 导数的应用基础回扣自主学习热点命题深度剖析高考明方向1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)备考知考情 由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，故备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，强化导数的工具性的作
2、用另外，导数常与解析几何、不等式、方程相联系因此，要加强导数应用的广泛意识，注重数学思想和方法的应用.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知 识 梳 理知识点一函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内(3)若f(x)0,则f(x)在这个区间内是.单调递增单调递减常数函数知识点二函数的导数与极值的关系(1)函数的极值已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近所有点x，都有，那么称函数f(x)在x0处取极大值，记作，并把x0称为函数f(x)的一个；如果在x0附近都
3、有，那么称函数f(x)在点x0处取极小值，记作，并把x0称为函数f(x)的一个f(x)f(x0)y极小值f(x0)极小值点(2)求可导函数极值的步骤求导数f(x)；求方程的所有实数根；对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，那么f(x0)是；如果f(x)的符号由负变正，那么f(x0)是如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，那么f(x0).f(x)0极大值极小值不是极值知识点三函数的导数与最值的关系(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则为函数的最小值，为函数的
4、最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)求可导函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的；将f(x)的各极值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值f(a)，f(b)知识点四生活中的优化问题(1)生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点(2)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤对 点 自 测知识点一函数的导数与单调性的关系1.判一判(1)f(x)0是f(x)为增函
5、数的充要条件()(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性()(3)函数y12x2lnx的单调递减区间为(0,1()答案(1)(2)(3)2已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析 f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案 3知识点二函数的导数与极值的关系3.函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0解析 f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时f(x)0，当1x0，当0 x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的
6、极值点答案 C4设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析 求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点答案 D知识点三函数的导数与最值的关系5.函数yx2cosx在区间0，2 上的最大值是_解析 y12sinx，令y0，且x0，2，得x6，则x0，6 时，y0；x6，2 时，ya，则实数a的取值范围是_解析 f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20.解得x1或x23.又f(1)72，f23 15727，f(1)112，f(2)7，
7、故f(x)min72，a72.答案，72知识点四生活中的优化问题7.从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3B72 cm3C144 cm3D160 cm3解析 设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160 x(0 x0是f(x)为增函数的充要条件吗？若不是，那其充要条件是什么？f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)，x
8、(a，b)恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.问题2 由函数单调性确定参数取值范围的方法是什么？(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即利用“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解高 频 考 点考点一利用函数单调性确定函数的图象【例1】已知函数f(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()A B C D听 课 记 录 由函数f(x)的导函数yf(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左
9、至右先增大后减小，观察图象可知只有B符合故选B.答案 B【规律方法】已知yf(x)的图象识别yf(x)的图象，关键是理解导函数的图象与函数图象的升降关系，本例中导函数yf(x)的图象先递增后递减，且区间具有对称性，从而可得yf(x)图象的斜率变化情况也应该是先递增后递减，并注意图象的对称性，正确的选项就不难得到变式思考 1 已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()AB CD解析 当x0时，由导函数图象知f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在(0，x1)内函数f(x)单调递增，
10、排除C.选D.答案 D考点二求函数的单调区间【例2】(理)(2014湖南卷)已知常数a0，函数f(x)ln(1ax)2xx2.讨论f(x)在区间(0，)上的单调性听课记录 f(x)a1ax 2x22xx22ax24a11axx22.(*)当a1时，f(x)0.此时，f(x)在区间(0，)上单调递增当0a1时，由f(x)0得x12 1aa(x22 1aa 舍去)当x(0，x1)时，f(x)0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，)上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在区间(0，)上单调递增；当0a0)，则h(x)1x2 1x 0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，
11、当0 x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)变式思考 2(1)(理)函数f(x)x22mlnx(m0)的单调递减区间为()A(0，)B(0,m)C(m，)D(0,m)(m，)(1)(文)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)(2)已知函数f(x)alnx2a2x x(a0)，讨论f(x)的单调性(1)(理)解析 由条件知函数f(x)的定义域为(0，)因为m0，x2.f(x)的单调递增区间为(2，)答案 D(2)解 依题意得函数的定义域为(0，)因为f(x)
12、ax2a2x2 1x2ax2a2x2xax2ax2(x0)当a0时，由f(x)0，及x0得x2a；由f(x)0得0 x0时，函数f(x)在(2a，)上单调递增，在(0,2a)上单调递减当a0及x0得xa；由f(x)0得0 xa.所以当a0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(2a，)上单调递增，在(0,2a)上单调递减考点三已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】(2015山西诊断)已知函数f(x)lnxa2x2ax(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数a的取值范围听 课
13、记 录(1)当a1时，f(x)lnxx2x，其定义域是：(0，)f(x)1x2x12x2x1x，令f(x)0，即2x2x1x0，解得x12或x1.x0，x1.当0 x0；当x1时，f(x)0，f(x)在区间(1，)上为增函数，不合题意当a0时，f(x)0(x0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x1a，此时f(x)的单调递减区间为1a，.由1a1，a0，得a1.当a0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x 12a，此时f(x)的单调递减区间为 12a，.由 12a1，a0(f(x)0，求函数f(x)的单调区间；设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减
14、区间，求实数a的取值范围(1)解析 函数的导数f(x)x bx2，要使函数在(1，)上是减函数，则f(x)xbx2 0在(1，)上恒成立，即bx2x，因为x1，所以x210，即bx(x2)成立设yx(x2)，则yx22x(x1)21.因为x1，所以y1.所以要使bx(x2)成立，则有b1.答案 C(2)解 f(x)x2axb，由题意得f01，f00，即c1，b0.由得，f(x)x2axx(xa)(a0)当x(，0)时，f(x)0，当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)g(x)x2ax2.依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，ax2x max2 2，当且仅当“x2x”即x 2时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2 2).