1、广东省湛江市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）函数f（x）=log2（x1）的定义域是（）AxR|x1BxR|x1CxR|x1DxR|x12（5分）已知（1+bi）2=2i（bR，i是虚数单位），则b=（）A2B1C1D1或23（5分）“a2”是“函数y=ax是增函数”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知向量=（x，2），=（1，1），若（+），则x=（）A2B4C4D25（5分）将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段
2、，那么这两段绳子的长都不小于1米的概率是（）ABCD6（5分）已知等比数列an的各项均为正数，且公比q1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q=（）A或BC或D7（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A24B15C15D248（5分）抛物线8yx2=0的焦点F到直线l：xy1=0的距离是（）ABCD9（5分）若 f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex+1Cy=exf（x）1Dy=exf（x）+110（5分）由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i=1，2，
3、3，n，），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表规则是：对于nN*，第n行共有2n1个向量，若第n行第k个向量为，则=，例如=（1，1），=（1，2），=（2，2），=（2，1），依此类推，则=（）A（44，11）B（44，10）C（45，11）D（45，10）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分）（一）必做题（1113题）11（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合 A=2，4，则CUA=12（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S=13（5分）已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z=ax+by最大值为6，则ab的最大值是（二）选做题（141
4、5题，考生只能从中选做一题）14（5分）极坐标方程分别为=cos与=sin的两个圆的圆心距为15如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则CBD=三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）设函数f（x）=sin（2x+）4cos（x）sin（x）（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域17（12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试成绩各记为 A、B、C、D、E五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其中笔试成绩为 B的考生有10人（1）求这批考生中面试成绩为 A
5、的人数；（2）已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为 A在笔试和面试成绩至少一项为 A的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概率18（14分）如图，已知三棱锥PABC中，PA平面 ABC，ABC是正三角形，AC=2 PA=2，D、E分别为棱 AC和 BC的中点（1）证明：DE平面PAB；（2）证明：平面 PBD平面PAC；（3）求三棱锥PBDE的体积19（14分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1（n2，nN*），且a1=2，a2=3（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=4n+（1）n12an（为非零整数，nN*），求的值，使得对任意nN*，bn
6、+1bn恒成立20（14分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF|=（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+是椭圆C的一条切线，点M（，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标21（14分）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x（aR）在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）证明：ln（x+1）x2+x；（3）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围广东省湛江市2015届高考数学一模试卷（文科）
7、参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）函数f（x）=log2（x1）的定义域是（）AxR|x1BxR|x1CxR|x1DxR|x1考点：对数函数的图像与性质；函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数的性质得到不等式，解出即可解答：解：由题意得：x10，解得：x1，函数f（x）的定义域是xR|x1，故选：A点评：本题考查了对数函数的定义域问题，是一道基础题2（5分）已知（1+bi）2=2i（bR，i是虚数单位），则b=（）A2B1C1D1或2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系
8、的扩充和复数分析：利用复数运算法则、复数相等即可得出解答：解：2i=1b2+2bi，1b2=0，2=2b，b=1故选：B点评：本题考查了复数运算法则、复数相等，属于基础题3（5分）“a2”是“函数y=ax是增函数”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据函数单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：若函数y=ax是增函数，则a1，则“a2”是“函数y=ax是增函数”的充分不必要条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础4（5分）已知向量=（x，2），=（1，1）
9、，若（+），则x=（）A2B4C4D2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x解答：解：由向量=（x，2），=（1，1），则=x+2，=（）2=2，若（+），则（+）=0，即有+=0，即x+2+2=0，即有x=4故选C点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题5（5分）将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两段绳子的长都不小于1米的概率是（）ABCD考点：几何概型 专题：概率
10、与统计分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值解答：解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率 P（A）=故选B点评：本题主要考查概率中的几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到6（5分）已知等比数列an的各项均为正数，且公比q1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q=（）A或BC或D考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等差中项的性质列出方程，再由等比数列的通项公式化简，再
11、结合题意求出q的值解答：解：因为a2、a3、a1成等差数列，所以2a3=a1+a2，则a3=a1+a2，因为等比数列an的各项均为正数，且公比q1，所以，化简得q2q1=0，解得q=或q=（舍去），故选：D点评：本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，属于基础题7（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A24B15C15D24考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥，求出它的表面积即可解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面圆的直径为6，母线长为5的圆锥体，该圆锥的表面积为S表面积=32+35=24
12、故选：A点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的表面积的应用问题，是基础题目8（5分）抛物线8yx2=0的焦点F到直线l：xy1=0的距离是（）ABCD考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线8yx2=0焦点F（0，2），再利用点到直线的距离公式可得结论解答：解：由抛物线8yx2=0焦点F（0，2），点F（0，2）到直线l：xy1=0的距离d=故选：D点评：熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键9（5分）若 f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex
13、+1Cy=exf（x）1Dy=exf（x）+1考点：函数的零点 专题：计算题分析：根据f（x）是奇函数可得f（x）=f（x），因为x0是y=f（x）+ex的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断；解答：解：f（x）是奇函数，f（x）=f（x）且x0是y=f（x）+ex的一个零点，f（x0）+=0，f（x0）=，把x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）1=1=11=2，故A错误；B、y=f（x0）+1=（）2+10，故B错误；C、y=ex0f（x0）1=ex0f（x0）1=ex01=11=0，故C正确；D、y=f（x0）+1=1+1=2，故D错误；故选
14、C；点评：此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证；10（5分）由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i=1，2，3，n，），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表规则是：对于nN*，第n行共有2n1个向量，若第n行第k个向量为，则=，例如=（1，1），=（1，2），=（2，2），=（2，1），依此类推，则=（）A（44，11）B（44，10）C（45，11）D（45，10）考点：归纳推理 专题：新定义；推理和证明分析：由题意和等差数列的前n项和公式求出前n行向量的个数表达式，再判断出所在的位置，再由给出的关系式求出的坐标解答：解
15、：由题意得，第n行共有2n1个向量，则前n行共有1+3+5+（2n1）=n2个向量，因为4422015452，且442=1936，所以应在第45行第79个向量，因为第n行第k个向量为，则=，所以=（45，11），故选：C点评：本题是一个新定义题型，考查归纳推理，等差数列的前n项和公式，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分）（一）必做题（1113题）11（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合 A=2，4，则CUA=1，3，5考点：补集及其运算
16、 专题：集合分析：由题意和补集的运算求出CUA即可解答：解：因为全集U=1，2，3，4，5，集合A=2，4，所以CUA=1，3，5，故答案为：1，3，5点评：本题考查补集及其运算，属于基础题12（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S=15考点：循环结构 专题：图表型分析：写出前5次循环的结果，判断出各次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足判断框中的条件执行输出结果解答：解：经过第一次循环得到的结果为T=1，S=1，i=2，不满足判断框中的条件，执行“否”经过第二次循环得到的结果为T=3，S=3，i=3，不满足判断框中的条件，执行“否”经过第三次循环得到的结果为T=5，S=15，i=4
17、，满足判断框中的条件，执行“是”，输出S=15，故答案为15点评：本题考查循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环得到结果，从中找规律13（5分）已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z=ax+by最大值为6，则ab的最大值是考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论解答：解：由约束条件作差可行域如图，由z=ax+by（a0，b0）得y=，则直线的斜率k=，截距最大时，z也最大平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此
18、时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z=2a+4b=6，即a+2b=3，3=a+2b，即，ab，当且仅当a=2b，即时上式“=”成立ab的最大值为故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，考查了利用基本不等式求最值，是中档题（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（5分）极坐标方程分别为=cos与=sin的两个圆的圆心距为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，将极坐标方程为=cos和=sin化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间
19、的距离公式求解即得解答：解：由=cos，化为直角坐标方程为x2+y2x=0，其圆心是A（ ，0），由=sin，化为直角坐标方程为x2+y2y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视15如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则CBD=30考点：弦切角 专题：计算题；压轴题分析：由于题目中并没有给出与角相关的已知条件，故解题的关键是构造三角形，解三角形求角的大小，故根据已知条件，结合割线定理，求出圆的半
20、径是本题的切入点解答：解：由割线长定理得：PAPB=PCPD即4PB=5（5+3）PB=10AB=6R=3，所以OCD为正三角形，CBD=COD=30点评：当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）设函数f（x）=sin（2x+）4cos（x）sin（x）（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）直接根据已知条件
21、利用特殊角的三角函数的值求出结果（2）首先对关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的定义域求出三角函数的值域解答：解：（1）函数f（x）=sin（2x+）4cos（x）sin（x）则：f（0）=12=1（2）f（x）=cos2x+4cosx（）=由于1sin2x1所以：函数f（x）的值域为：点评：本题考查的知识要点：特殊角的三角函数的值三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题型17（12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试成绩各记为 A、B、C、D、E五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其中笔试成绩为 B的考生有10人（1）求这批
22、考生中面试成绩为 A的人数；（2）已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为 A在笔试和面试成绩至少一项为 A的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）根据频率=求出该班的人数，再计算该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数；（2）用列举法求出在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈的基本事件数与“随机抽取2人进行访谈，这2人恰为甲和乙的概率”的事件数，计算概率即可解答：解：（1）“笔试成绩为B的考生有10人，对应的频率为0.25，该班有100.25=40人，这批考生中面试
23、成绩为 A的人数为40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3；（2）由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A；设这4人为甲、乙、丙、丁，所以只有甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为=（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），一共有6个基本事件；设“随机抽取2人进行访谈，这2人恰为甲和乙的概率”为事件M，事件M中包含的事件有1个，为（甲，乙），则P（M）=点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了求
24、古典概型的概率的应用问题，属于基础题18（14分）如图，已知三棱锥PABC中，PA平面 ABC，ABC是正三角形，AC=2 PA=2，D、E分别为棱 AC和 BC的中点（1）证明：DE平面PAB；（2）证明：平面 PBD平面PAC；（3）求三棱锥PBDE的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由三角形中位线定理DEAB，由此能证明DE平面PAB（2）由线面垂直得PABD，由正三角形性质得BDAC，由此能证明平面PBD平面PAC（3）由已知得=，再由PA平面ABC，能求出三棱锥PBDE的体积解答：（1）证明：D、
25、E分别为棱AC和BC的中点，DEAB，又AB平面PAB，DE平面PAB，DE平面PAB（2）证明：PA平面ABC，且BD平面ABC，PABD，ABC是正三角形，D是AC中点，BDAC，PAAC=A，且PA，AC平面PAC，BD平面PBD，平面PBD平面PAC（3）解：在正三角形ABC中，D，E分别为棱AC和BC的中点，=，PA平面ABC，PA平面BDE，=点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1（n2，nN*），且a1=2，a2=3（1）
26、求数列an的通项公式；（2）设bn=4n+（1）n12an（为非零整数，nN*），求的值，使得对任意nN*，bn+1bn恒成立考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由Sn+1+Sn1=2Sn+1（n2，nN*），变形为Sn+1Sn（SnSn1）=1，利用等差数列的通项公式即可得出（2）bn=4n+（1）n12an=4n+（1）n12n+1，要使得对任意nN*，bn+1bn恒成立，只须bn+1bn0恒成立化为（1）n12n1对n分为奇数偶数讨论即可得出解答：解：（1）Sn+1+Sn1=2Sn+1（n2，nN*），Sn+1Sn（SnSn1）=1，an+1an=1，且a2
27、a1=1数列an是等差数列，an=2+（n1）1=n+1（2）bn=4n+（1）n12an=4n+（1）n12n+1，要使得对任意nN*，bn+1bn恒成立，只须bn+1bn=4n+14n+（1）n2n+2（1）n12n+10恒成立化为（1）n12n1（i）当n为奇数时，2n1恒成立，当且仅当n=1时，2n1有最小值1，1（ii）当n为偶数时，2n1恒成立，当且仅当n=2时，2n1有最大值1，2综上可得：21，又为非0整数，则=1因此存在非0整数=1，使得对任意nN*，bn+1bn恒成立点评：本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，
28、属于难题20（14分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF|=（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+是椭圆C的一条切线，点M（，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程x=ty+代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方
29、程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可解答：解：（1）由题意设椭圆方程为焦点F（c，0），因为，将点B（c，）代入方程得由结合a2=b2+c2得：故所求椭圆方程为（2）由得（2+t2）y2+2ty+22=0l为切线，=（2t）24（t2+2）（22）=0，即t22+2=0设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，MN为圆的直径，因为，所以，代入及得=，要使上式为零，当且仅当，解得x0=1，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（1，0）与（1，0），即两个焦点点评：本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度21（14分）已知函数f（x
30、）=ln（x+a）x2x（aR）在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）证明：ln（x+1）x2+x；（3）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）f（x）=，由在x=0处取得极值，可得f（0）=0，解出即可（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）x2x，其定义域为x|x1利用导数研究函数f（x）在（1，+）上的最值，即可证明（3）f（x）=x+b即ln（x+1）x2+xb=0，令g（x）=ln（x+1）x2+xb，x（1，+）
31、关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上恰有两个不同的实数根g（x）=0在区间0，2上恰有两个不同的实数根利用导数研究其单调性极值与最值，数形结合即可得出解答：（1）解：f（x）=，在x=0处取得极值，f（0）=0，1=0，解得a=1经过验证a=1时，符合题意（2）证明：当a=1时，f（x）=ln（x+1）x2x，其定义域为x|x1f（x）=，令f（x）=0，解得x=0当x0时，令f（x）0，f（x）单调递减；当1x0时，令f（x）0，f（x）单调递增f（0）为函数f（x）在（1，+）上的极大值即最大值f（x）f（0）=0，ln（x+1）x2+x，当且仅当x=0时取等号（3）解：f（x）=x+b即ln（x+1）x2+xb=0，令g（x）=ln（x+1）x2+xb，x（1，+）关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上恰有两个不同的实数根g（x）=0在区间0，2上恰有两个不同的实数根g（x）=2x+=，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增当x（1，2）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减，点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
