1、2016年北京市北方交大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x12“a1”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（）An6？Bn7？Cn8？Dn9？4设复数z=（x1）+yi（xR，y0），若|z|1，则yx的概率为（）ABCD5设不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A
2、5，7B（5，7）C（5，7D5，7）6ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（）A|=1BC =1D（4+）7如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）Ay=sin（）BCy=sin（）Dy=sin（）8已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（，0）C（0，2）D（2，0）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9双曲线y2=1的焦距
3、是，渐近线方程是10已知直线l的极坐标方程为2sin（）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为11如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=12已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为13某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种（用数字作答）14为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误
4、（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：00=0，01=1，10=1，11=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于三、解答题（共6小题，满分80分）15四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积16某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（）求T的分布列与数学期望ET；
5、（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率17如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABBC，AB=PA=BC=2D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）（）求证：MNBC；（）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长18已知函数f（x）=lnx+（）求证：f（x）1；（）若x1alnx对任意x1恒成立，求实数a的最大值19平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）
6、的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E： +=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值20已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（a3），an+1=Sn+3n，设bn=sn3n，nN+（1）求证：数列bn是等比数列；（2）若an+1an，nN+，求实数a的最小值；（3）若一个数列的前n项和为An，若An可以写出tp（t，pN+且t1，p1）的形式，则称An为“指数型和”当a=4时，给
7、出一个新数列en，其中en=，设这个新数列的前n项和为Cn，问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由2016年北京市北方交大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求AB，再根据补集的定义求CU（AB）【解答】解：AB=x|x1或x0，CU（AB）=x|0x1，故选：D2“a1”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为减函数”的（）
8、A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数f（x）=logax在区间（0，+）上为减函数，可得0a1，即可得出【解答】解：函数f（x）=logax在区间（0，+）上为减函数，则0a1，因此“a1”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为减函数”的必要不充分条件故选：B3执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（）An6？Bn7？Cn8？Dn9？【考点】程序框图【分析】根据框图运行后输出的结果是16，从s=0，n=1开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到s的值为16时看此时
9、的n值，此时的n值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案【解答】解：框图首先赋值s=0，n=1，执行s=0+1=1，n=1+2=3；判断框中的条件不满足，执行s=1+3=4，n=3+2=5；判断框中的条件不满足，执行s=4+5=9，n=5+2=7；判断框中的条件不满足，执行s=9+7=16，n=7+2=9；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n8故选C4设复数z=（x1）+yi（xR，y0），若|z|1，则yx的概率为（）ABCD【考点】复数求模；几何概型【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得【解答】解：复数
10、z=（x1）+yi（x，yR）且|z|1，|z|=1，即（x1）2+y21，点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而yx表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）所求概率为弓形的面积与圆的面积一般的之比，所求概率P=故选：B5设不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A5，7B（5，7）C（5，7D5，7）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围
11、是：5a7故选D6ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（）A|=1BC =1D（4+）【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意，知道，根据已知三角形为等边三角形解之【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，满足=2， =2+，又，的方向应该为的方向所以，所以=2， =12cos120=1，4=412cos120=4， =4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D7如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函
12、数关系为（）Ay=sin（）BCy=sin（）Dy=sin（）【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式【解答】解：由题意，函数的周期为T=60，=设函数解析式为y=sin（t+）（因为秒针是顺时针走动）初始位置为P0（，），t=0时，y=sin=可取函数解析式为y=sin（t+）故选C8已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（，0）C（0，2）D（2，0）【考点】函数单调性的性质【分析】根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a2
13、ax，即2xa在a，a+1上恒成立，所以只需满足2（a+1）a，解该不等式即得实数a的取值范围【解答】解：二次函数x24x+3的对称轴是x=2；该函数在（，0上单调递减；x24x+33；同样可知函数x22x+3在（0，+）上单调递减；x22x+33；f（x）在R上单调递减；由f（x+a）f（2ax）得到x+a2ax；即2xa；2xa在a，a+1上恒成立；2（a+1）a；a2；实数a的取值范围是（，2）故选：A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9双曲线y2=1的焦距是，渐近线方程是【考点】双曲线的简单性质【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程【解答】解：双曲线=1中，
14、a=，b=1，c=，焦距是2c=2，渐近线方程是y=x故答案为：2；y=x10已知直线l的极坐标方程为2sin（）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：直线l的极坐标方程为2sin（）=，对应的直角坐标方程为：yx=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，2）点A到直线l的距离为： =故答案为：11如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=【考点
15、】相似三角形的判定【分析】连接OC，确定OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，即可得出结论【解答】解：连接OC，则OCCD，AB是圆O的直径，BCAC，OPBC，OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，4=OD，OD=8故答案为：812已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断斜三棱柱的底面三角形的形状，棱柱的高，即可求解三棱柱的体积【解答】解：由题意可知三棱柱的底面是直角边长为1和2的直角三角形，棱柱的高为：2斜三棱柱的体积为： =2故答案为：213某种产品的加工需要 A，B，C，D，
16、E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，结合A必须在D的前面完成，可得结论【解答】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有482=24种，故答案为：2414为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下
17、校验方程组：，其中运算定义为：00=0，01=1，10=1，11=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于【考点】进行简单的合情推理【分析】根据二元码x1x2x7的码元满足的方程组，及“”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4x5x6x7=1，故k1；若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
18、从而由校验方程组，得x2x3x6x7=1，故k2；若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2x3x6x7=1，故k3；若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1x3x5x7=1，故k4；若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4x5x6x7=0，x2x3x6x7=0，x1x3x5x7=0，故k=5符合题意；若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，
19、得x2x3x6x7=1，故k6；若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2x3x6x7=1，故k7；综上，k等于5故答案为：5三、解答题（共6小题，满分80分）15四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，
20、进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积【解答】解：（1）在BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcosC=1312cosC，在ABD中，AB=1，DA=2，A+C=，由余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA=5+4cosC，由得：cosC=，则C=60，BD=；（2）cosC=，cosA=，sinC=sinA=，则S=ABDAsinA+BCCDsinC=12+32=216某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容
21、量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（）求T的分布列与数学期望ET；（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数样本容量，数学期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32（分钟）；（）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）
22、+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1P（）=0.91【解答】解（）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32（分钟）（）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T270）=P（T1=
23、35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09故P（A）=1P（）=0.91故答案为：（）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（）0.9117如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABBC，AB=PA=BC=2D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）（）求证：MNBC；（）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（）DE为ABC的中位线
24、，从而得到DEBC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DEMN，从而BCMN，即MNBC；（）过B作BZPA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得的坐标从而可求出平面PBC的一个法向量坐标，设直线AC与平面PBC所成角为，根据sin=即可求出；（）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到，从而表示M为M（0，2，2），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值，设直线EM与直线AP所成角为，从而通过cos=即可求出，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC【解答】解：（）证明：D
25、，E分别为AB，AC的中点；DEBC，BC平面PBC，DE平面PBC；DE平面PBC，平面DENM平面PBC=MN；DEMN；MNBC；（）如图，在平面PAB内作BZPA，则根据：PA底面ABC，及ABBC即知，BC，BA，BZ两两垂直；以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1=1，得x1=0，y1=1；设直线AC和平面PBC所成角为，则：sin=；又；即直线AC和平面PBC所成角为；（）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；（0，
26、y，z）=（0，2，2）；M（0，2，2），E（1，1，0）；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为；所以cos=；8218+9=0；解得，或（舍去）；M（0，）；18已知函数f（x）=lnx+（）求证：f（x）1；（）若x1alnx对任意x1恒成立，求实数a的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性与最小值，即可证明结论成立（）根据题意构造函数g（x）=x1alnx（x0），利用导数判断函数的单调性，讨论a的取值，求出g（x）0时实数a的最大值【解答】证明：（）函数f（
27、x）=lnx+，函数f（x）的定义域（0，+），且f（x）=，令f（x）=0，解得x=1；当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）单调递减极小值单调递增f（x）min=f（1）=1，f（x）1解：（）设g（x）=x1alnx，（x0），依题意，对于任意x1，g（x）0恒成立；g（x）=1=，a1时，g（x）0，g（x）在1，+）上单调递增，当x1时，g（x）g（1）=0，满足题意；a1时，当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表：x（1，a）a（a，+）g（x）0+g（x）单调递减极小值单调递增g（x）在（1，a） 上单调递减，所以g（
28、a）g（1）=0； 即当a1时，总存在g（a）0，不合题意； 综上所述，实数a的最大值为1 19平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E： +=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程【分析】（）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（）求
29、得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），|=，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值【解答】解：（）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（）由（）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），|=，由题意可知，Q（x0，y0），由于+y02=1，
30、又+=1，即（+y02）=1，所以=2，即|=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得m24+16k2，则有x1+x2=，x1x2=，所以|x1x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则AOB的面积为S=|m|x1x2|=|m|=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0可得m21+4k2，由可得0t1，则S=2在（0，1递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，ABQ的面
31、积为3S，即ABQ面积的最大值为620已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（a3），an+1=Sn+3n，设bn=sn3n，nN+（1）求证：数列bn是等比数列；（2）若an+1an，nN+，求实数a的最小值；（3）若一个数列的前n项和为An，若An可以写出tp（t，pN+且t1，p1）的形式，则称An为“指数型和”当a=4时，给出一个新数列en，其中en=，设这个新数列的前n项和为Cn，问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由a1=a（a3），an+1=Sn+3n，n2时，an=Sn1+3n1，
32、可得： =2，利用等比数列的通项公式可得：an=23n1+（a2）2n1，进而得出bn=sn3n=（a2）2n，即可证明（2）由an+1an，代入通项公式化为：a24，利用数列的单调性即可得出（3）由（1）可得：en=利用等比数列的求和公式即可得出【解答】证明：（1）a1=a（a3），an+1=Sn+3n，n2时，an=Sn1+3n1，可得：an+1an=an+23n1，变形为： =2，a12=a20，数列是等比数列，首项为a2，公比为2an23n1=（a2）2n1，an=23n1+（a2）2n1，Sn=an+13n=23n+（a2）2n3n=（a2）2n+3n，bn=sn3n=（a2）2n，数列bn是等比数列，首项为2a4，公比为2解：（2）an+1an，23n+（a2）2n23n1+（a2）2n1，化为：a24，数列单调递减，n=1时，取得最大值4，a2，且a2解：（3）由（1）可得：en=n=1时，C1=3n2时，Cn=3+22+23+2n=2n+11Cn中的项不存在“指数型和”2016年10月13日
