1、海南省海口市第一中学2020届高三数学9月月考试题（B卷）（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合， ，则AB等于（ ）A. B. RC. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知集合A是对数函数的定义域，集合B是指数函数值域，分别求出两集合再求并集即可.【详解】解：因为，所以 ，故选：A【点睛】此题考查了对数函数、指数函数、集合的并集运算，属于基础题.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为
2、对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值，进行判断，得到答案.【详解】定义域为，且所以为上的奇函数，A、B排除.当时，分子、分母都为正数，故，排除D项.故选C项.【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为所以选C考点：比较大小5. 下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程记录的产量（吨）
3、与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据.根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为( )34562.544.5A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由表中数据求出，代入线性回归方程即得.【详解】因为线性回归直线过样本中心点，由表中数据求得，代入线性回归方程得.故选：.【点睛】本题考查线性回归方程，属于基础题.6. 展开式中的系数为（ ）A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为则展开式的通项为则 展开式中的项为则 展开式中的系数为故选:
4、C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.7. 若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）A. 9B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，又，当且仅当，即时等号成立的最小值是9故选A【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值8. 是定义在R上的奇函数，对任意xR总有，则
5、的值为（ ）A. B. 3C. D. 0【答案】D【解析】【分析】根据是定义在R上的奇函数，可得，在中令即可得到得值.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以对任意都成立，当时，有，又因为对任意xR总有，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于基础题.9. 如图，已知，若点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把转为，故可得的值后可计算的值.【详解】因为，所以，整理得到，所以，选D.【点睛】一般地，为直线外一点，若为直线上的三个不同的点，那么存在实数满足；反之，若平面上四个不同的点满足，则三点共线.10. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方
6、体的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为，正方体的棱长为，在直角中，由勾股定理，得，求得球的半径，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示，设球的半径为，正方体的棱长为，那么，在直角中，由勾股定理，得,即，解得，所以半球的体积为，正方体的体积为，所以半球与正方体的体积比为，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能
7、力，属于基础题.11. 已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【详解】因为双曲线的两条渐近线为，因为两条渐近线互相垂直，所以，得因为双曲线焦距为，所以由可知，所以，所以实轴长为.故选B项.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题.12. 已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在
8、定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为_【答案】【解析】【分析】从7个球里取3个球，共有 种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后
9、再由古典概型公式，得到概率.【详解】从7个球里取3个球，共有 种可能的情况，全是红球的情况有，全是白球的情况有，将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，所以概率为【点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.14. 设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则_【答案】【解析】把函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，结合得到的函数为一个奇函数，则，因为令 可得，故答案为.【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和图象的变换，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2） 时，是偶函数.
10、15. 已知函数的零点的区间是，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】由导数得出函数的单调性，结合零点存在性定理，即可得出的值.【详解】函数的定义域为则函数在上单调递减，由零点存在性定理可知，函数在区间必有1个零点，则故答案为：【点睛】本题主要考查了由零点所在区间求参数的值，属于中档题.16. 已知是公差不为零的等差数列，同时，成等比数列，且，则_ .【答案】28【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求出首项和公差，再根据通项公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，因为，成等比数列，所以，所以，根据，化简得，又由，得，即，联立与，解得，所以.故答案
11、为：28.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等差数列通项公式的基本量的计算，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 设数列的前n项和为,满足,（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）先由，结合题意得到，化简整理，结合等比数列的定义，即可证明结论成立；（2）先由（1）求出，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】证明,数列是以1为首项,以2为公比的等比数列解：由可知,由错位相减得,【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及数列的求和问题，熟记等比数列的概念，以及错位相减法求和即可，属于常考题型.18. 已知a，b，
12、c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，absinAacosB（1）求B；（2）若b2，ABC的面积为，求a，c【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及正弦定理得，因为，可以得出的关系式，进而求出角；（2）根据三角形面积公式得，又根据余弦定理得出，从而得出试题解析：（1）由及正弦定理得，因为，得，因为为三角形内角，故（2）三角形的面积，故而，故解得考点：1、正、余弦定理；2、三角形面积公式19. 如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角APBC的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）由
13、已知，得ABAP，CDPD由于AB/CD ，故ABPD ，从而AB平面PAD又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.
14、建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20. 某高中社团进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 完成以下问题： （）补全频率分布直方图并求n，a，p的值； （）从40，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望E（X）.【答案】（1）直方图见解析，（2）分布列见解析，【解析】【分析】试题分析：（）根据所求矩
15、形的面积和为1求出第二组的频率，然后求出高，画出频率直方图，求出第一组的人数和频率从而求出n，由题可知，第二组的频率以及人数，从而求出p的值，然后求出第四组的频率和人数从而求出a的值； （）因为40，45）岁年龄段的“时尚族”与45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，40，45）岁中有12人，45，50）岁中有6人，机变量X服从超几何分布，X的取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式求出期望即可 试题解析：解：（）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3， 所以高为 频率直方图如下：
16、 第一组的人数为，频率为0.045=0.2，所以 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3=300， 所以 第四组的频率为0.035=0.15，所以第四组的人数为10000.15=150， 所以a=1500.4=60 （）因为40，45）岁年龄段的“时尚族”与45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值 为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，40，45）岁中有12人，45，50）岁中有6人 随机变量X服从超几何分布， 所以随机变量X分布列为 X0 123P数学期望 （或者 ）.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的
17、所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值【详解】21. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.【解析】【
18、分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.【详解】（1）因为函数，所以，.又因为，则切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数定义域为，由（1）可知，.令解得与在区间上情况如下：0极小值所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是.（3）当时，“”等价于“”.令，.令解得，当时，所以在区间单调递减.当时，所以在区间单调递增.而，.所以在区间上
19、的最大值为.所以当时，对于任意，都有.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.22. 如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由【答案】（）（）直线恒过定点【解析】试题分析：（）设椭圆C的半焦距为c求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BPBQ，化
20、简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标试题解析：（）解：设椭圆半焦距为依题意，得， 且 ， 解得 所以，椭圆的方程是（）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为 将直线的方程代入，消去，整理得 设 ，则 ，（1）因为 ，且直线的斜率均存在，所以 ， 整理得 （2）因为 ，所以 ，（3）将（3）代入（2），整理得（4）将（1）代入（4），整理得 解得 ，或（舍去）所以，直线恒过定点 证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为 将直线的方程代入，消去，得 解得 ，或 设 ，所以， 所以 以替换点坐标中的，可得 从而，直线的方程是 依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上 在上述方程中，令，解得所以，直线恒过定点 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程
