1、第 7 章 第 5 节 一、选择题1(2010山东文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)答案 D解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选 D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查2观察下式：112,23432,3456752,4567891072，则第 n 个式子是()An(n1)(n2)(2n1)n2Bn(n1)(n2)(2n1)(2n1
2、)2Cn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案 C解析 由类比推理可知等号左边应有 2n1 项，右边是(2n1)2.3已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第 60 个数对是()A(3,8)B(4,7)C(4,8)D(5,7)答案 D解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为 2 的数对有 1 个，和为 3 的数对有 2 个，和为 4的数对有 3 个，和为 5 的数对有 4 个，依此类推和为 n1 的数对有 n 个，多个数对的排
3、序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn1260n(n1)120，nZ，n10 时，nn1255 个数对，还差 5 个数对，且这 5 个数对的横、纵坐标之和为 12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第 60 个数对是(5,7)4如图所示，把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A27 B28 C29 D30答案 B解析 a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，ann(n1)(n2)21nn12，a7782 28.5如图所示：一个质点在第一象限运动，在第一
4、秒钟内它由原点运动到(0,1)，而后接着按图所示在与 x 轴，y 轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么 2 000 秒后，这个质点所处位置的坐标是()A(44,25)B(45,25)C(25,45)D(24,44)答案 D解析 质点到达(1,1)处，走过的长度单位是 2，方向向右；质点到达(2,2)处，走过的长度单位是 624，方向向上；质点到达(3,3)处，走过的长度单位是 12246，方向向上；猜想：质点到达(n，n)处，走过长度单位是 2462nn(n1)，且 n 为偶数时运动方向与 x 轴正向相反，n 为奇数时运动方向与 y 轴正向相反所以 2000 秒后是指质点到达(44
5、,44)后，继续前进了 20 个单位，由图中规律可得向左前进了 20 个单位即质点位置是(24,44)6(2011烟台模拟)函数 f(x)由下表定义：x25314f(x)12345若 a05，an1f(an)，n0,1,2，则 a2011()A1 B2 C4 D5答案 C解析 由 a05，an1f(an)，n0,1,2，得a1f(a0)f(5)2；a2f(a1)f(2)1；a3f(a2)f(1)4；a4f(a3)f(4)5；a5f(a4)f(5)2；说明递推数列 a05，an1f(an)是周期为 4 的数列a2011f(a2010)f(1)4.7设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的
6、面积为 S，内切圆半径为 r，则 r2Sabc；类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体 PABC 的体积为 V，则 r()A.VS1S2S3S4B.2VS1S2S3S4C.3VS1S2S3S4D.4VS1S2S3S4答案 C解析 类比条件，分母应为 4 个面面积的和，分子应为体积 V 的 3 倍证明如下：设四面体的内切球球心为 O，那么由 VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC，即：V13S1r13S2r13S3r13S4r，可得：r3VS1S2S3S4.8自然数按下表的规律排列1 2 5 10 17|4 3 6
7、11 18|9 8 7 12 19|16 15 14 13 20|25 24 23 22 21则上起第 2 007 行，左起第 2 008 列的数为()A2 0072 B2 0082C2 0062 007 D2 0072 008答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第 n 行的第 1个数为 n2；第一行第 n 个数为(n1)21；第 n 行从第 1 个数至第 n 个数依次递减 1；第 n 行从第 1 个数至第 n 个数依次递增 1.故上起第 2 007 行，左起第 2008 列的数，应是第 2 008 列的第 2 007
8、个数，即为(2 0081)212 0062 0072 008.二、填空题9(2011安师大附中期中)观察下图：1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于 2 0092.答案 1 005解析 通过观察题图可发现规律：第 n 行的第一个数为 n，且第 n 行共有 2n1 个连续的正整数，故由(2n1)n2n12n221(2n1)22 0092，得 n1 005.10(2010浙江文)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第 n 行第 n1 列的数是_.答案 n2n解析 本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总
9、结规律，归纳结论由图表知，第 n 行的数构成首项为 n，公差为 n 的等差数列，第 n 行第 n1 列的数为：n(n11)nn2n.11(2010湖南理)若数列an满足：对任意的 nN*，只有有限个正整数 m 使得 amn 成立，记这样的 m 的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是 1,2,3，n，则数列(an)*是 0,1,2，n1，.已知对任意的 nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.答案 2 n2解析 因为 am0 且 f(1)log162，f(2)1.(1)求函数 f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足 xn1f(1)1f(2)1f(n)，
10、试求 x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项分析(1)先由 f(1)，f(2)的值求出 a，b 的值；(2)然后通过计算 x1，x2，x3，x4 归纳出通项公式解析(1)把 f(1)log16214，f(2)1，代入函数表达式得 b1a12142b112a21，整理得4b4a22a12b14a24a1，解得a1，b0，于是 f(x)1x12(x1)(2)x11f(1)11434，x234119 23，x3231 116 58，x4581 125 35.(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为34，46，58，610，便可猜想 xn n22n1.15在ABC 中，
11、ABAC，ADBC 于 D，求证：1AD2 1AB2 1AC2，那么在四面体 ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由分析 首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明解析 如图(1)所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，1AD21BDDCBC2BDBCDCBCBC2AB2AC2.又 BC2AB2AC2，1AD2AB2AC2AB2AC2 1AB2 1AC2.所以 1AD2 1AB2 1AC2.猜想：类比 ABAC，ADBC 猜想：四面体 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，AE平面 BCD.则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.如图(2)，连接 BE 交 CD 于 F，连接 AF.ABAC，ABAD，AB平面 ACD.而 AF平面 ACD，ABAF.在 RtABF 中，AEBF，1AE2 1AB2 1AF2.在 RtACD 中，AFCD，1AF2 1AC2 1AD2.1AE2 1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确
