1、第 9 章 第 2 节 一、选择题1(2011珠海统考)直线 2xy20 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转2所得的直线方程是()Ax2y40 Bx2y40Cx2y40 Dx2y40答案 D解析 直线 2xy20 与 y 轴的交点为 P(0，2)，其斜率 k2，绕点 P 逆时针旋转2后的斜率为 k1k12，故旋转后的直线方程为 y212x，即 x2y40.2点 A(1,2)在直线 l 上的射影为 B(1,4)，则 l 的方程为()Axy50 Bxy50Cxy50 Dxy50答案 D解析 ABl 可求 l 方程3已知两直线 l1：mxy20 和 l2：(m2)x3y40 与两坐标轴围成的四边形有外接
2、圆，则实数 m 的值为()A1 或3 B1 或 3C2 或12D2 或12答案 A解析 两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，对角互补，两条直线垂直，m23(m)1，m1 或 m3.4(2011陕西华阴期末)若直线 l1：yk(x4)与直线 l2 关于点(2,1)对称，则直线 l2 恒过定点()A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)答案 B解析 由于直线 l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线 l1：yk(x4)与直线 l2 关于点(2,1)对称，直线 l2 恒过定点(0,2)，故应选 B.5过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方
3、程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案 A解析 所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件，此时 kOA2，故所求直线的斜率为12，所以直线方程为 y212(x1)，即 x2y50.6如下图，定圆半径为 a，圆心为 C(b，c)，则直线 axbyc0 与直线 xy10 的交点在()uA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 C解析 由已知bac0，ac0，ab0，bc0，由axbyc0 xy10得交点cbab，acab 在第三象限，选 C.7过直线 yx 上的一点作圆(x5)2(y1)22 的两条切线 l1、l2，当直线 l1、l2 关于 yx 对称时，它们之间
4、的夹角为()A30 B45C60 D90答案 C解析 过圆心 C(5,1)作 yx 的垂线，垂足为 P.过 P 作C 的切线 l1、l2，则 l1 与 l2 关于直线 PC 对称直线 PC 与直线 yx 垂直，l1 与 l2 关于直线 yx 对称，C 到直线 yx 距离为 2 2，又C 的半径 2，APC30，l1 与 l2 的夹角为 60.8如图，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是()A2 10B6C3 3D2 5答案 A解析 易得 AB 所在的直线方程为 xy4，
5、由于点 P 关于直线 AB 的对称点坐标为A1(4,2)，点 P 关于 y 轴的对称点坐标为 A(2,0)，则光线所经过的路程即为 A1(4,2)与 A(2,0)两点间的距离于是|A1A|4222022 10.二、填空题9已知三条直线 xy0，xy10，mxy30 不能构成三角形，则 m 的取值集合为_答案 1，1，7解析 当三直线中有两直线平行时 m1 或1，当三直线交于一点时，将交点(12，12)代入直线 mxy30，得 m7，因此 m1，1，710ABC 中，a、b、c 是内角 A、B、C 的对边，且 lg sinA，lg sinB，lg sinC 成等差数列，则下列两条直线 l1：(s
6、in2A)x(sinA)ya0，l2：(sin2B)x(sinC)yc0 的位置关系是_答案 重合解析 由已知 2lg sinBlg sinAlg sinC，得 lg(sinB)2lg(sinAsinC)，sin2BsinAsinC.设 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.a1a2sin2Asin2B sin2AsinAsinCsinAsinC，b1b2sinAsinC，c1c2ac2RsinA2RsinCsinAsinC，a1a2b1b2c1c2，l1 与 l2 重合11(文)(2011北京文)若点 P(m,3)到直线 4x3y10 的距离为 4，且点 P 在不等式 2xy3
7、 表示的平面区域内，则 m_.答案 3解析 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识点 P 到直线 4x3y10 的距离 d|4m91|54，解得 m7 或 m3，又点 P 在 2xy3 表示的区域内，故 m3.(理)将直线 l：x2y10 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到直线 l，则直线 l 与 l之间的距离为_答案 55解析 平移后 l：(x3)2(y2)10即 l：x2y20，d|21|122 55.三、解答题12已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10，试确定 m、n 的值，使(1)l1 与 l2 相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l
8、1l2，且 l1 在 y 轴上的截距为1.解析(1)由条件知 m28n0，且 2mm10，m1，n7.(2)由 mm820，得 m4.由 8(1)nm0，得m4n2 或m4n2即 m4，n2 时，或 m4，n2 时，l1l2；(3)当且仅当 m28m0，即 m0 时，l1l2，又n81，n8.即 m0，n8 时，l1l2 且 l1 在 y 轴上的截距为1.点评 若直线 l1、l2 的方程分别为 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20，则 l1l2 的必要条件是 A1B2A2B10；而 l1l2 的充要条件是 A1A2B1B20.13已知ABC 的两个顶点 A(1,5)和 B(0，1)，又知
9、C 的平分线所在的直线方程为2x3y60，求三角形各边所在直线的方程.解析 设 A 点关于直线 2x3y60 的对称点为 A(x1，y1)，则2x1123y15260，y15x1132.2x13y150，3x12y170.解得x13113，y1 113 A3113，113.同理，点 B 关于直线 2x3y60 的对称点为 B3613，4113.角平分线是角的两边的对称轴，A点在直线 BC 上.kBCkBA1231，直线 BC 的方程为 y1231x1，整理，得 12x31y310.同理，直线 AC 的方程为 24x23y1390.kAB6，直线 AB 的方程为 6xy10.点评 在解答解析几何
10、问题时，常常需要对图形的几何性质进行深入探讨，只有对几何背景有了深入了解，才能为问题的解决提供简捷的代数方法.本例就是在观察图形性质的基础上进行解答的14已知点 P(2，1)，求：(1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解析(1)过 P 点的直线 l 与原点的距离为 2，而 P 点坐标为(2，1)，可见过 P(2，1)垂直于 x 轴的直线满足条件，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.
11、由已知得，|2k1|1k2 2，解得 k34，这时直线 l 的方程为 3x4y100.综上所述，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)P 点在直线 l 上，原点到直线 l 的距离 d|OP|，过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线，由 lOP，得 k1kOP1.k1 1kOP2，得直线 l 的方程为 2xy50，即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为|5|5 5.(3)由(2)知，过 P 点的直线与原点 O 最大距离为 5，故过 P 点不存在到原点距离为 6 的直线15(文)光线沿直线 l1：x2y50 射入，
12、遇直线 l：3x2y70 后反射，求反射光线所在的直线方程分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 l 对称，用对称点方法求出入射光线上一点 P 关于 l 的对称点，再由两点式写出方程解析 解法 1：由3x2y70，x2y50，得x1，y2，即反射点 M 的坐标为(1,2)又取直线 x2y50 上一点 P(5,0)，设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x0，y0)由 PP的中点 Q 的坐标为x052，y02，又 Q 点在 l 上，3x0522y0270.联立y0 x0523，32x05y070，解得x01713，y03213，即 P点坐标为1713，3213.反射光线过
13、M(1,2)和 P1713，3213.根据直线的两点式方程，可得反射光线所在的方程为 29x2y330.解法 2：设直线 x2y50 上任意一点 P(x0，y0)关于直线 l 的对称点 P(x，y)，则y0yx0 x23.又 PP的中点 Qxx02，yy02在 l 上，3xx022yy0270，由y0yx0 x23，3xx02yy070 x05x12y4213，y012x5y2813，代入方程 x2y50 中，化简得 29x2y330，即所求反射光线所在直线方程为 29x2y330.(理)已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等，且过两直线 l1：3xy10 和 l2：xy30 的交点，求直线 l 的方程解析 根据条件可设直线 l 的方程为：3xy1(xy3)0，即(3)x(1)y310.直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等可分为两种情况：当直线 l 与 A、B 的连线平行时，由 kAB323512，可得3112，解得 7，此时直线 l 的方程为 x2y50；当直线 l 过线段 AB 中点 M4，52 时，将点 M4，52 代入直线 l 的方程可得 4(3)52(1)310，则 177，可得直线 l 的方程为：x6y110.综上可知，所求直线 l 的方程为：x2y50 或 x6y110.
