1、第 6 章 第 2 节 一、选择题1(2010全国卷)如果等差数列an中，a3a4a512，那么 a1a2a7()A14 B21C28 D35答案 C解析 由 a3a4a512 得，a44，a1a2a7a1a7277a428.2(2010福建理)设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a111，a4a66，则当 Sn 取最小值时，n 等于()A6 B7C8 D9答案 A解析 a111，a4a66，a111d2Snna1nn12d11nn2nn212n.(n6)236.即 n6 时，Sn 最小3(2010浙江绍兴)设an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，bn是以 1 为首项，2 为公比的
2、等比数列记 Mnab1ab2abn，则Mn中不超过 2012 的项的个数为()A8 B9C10 D11答案 C解析 由条件易得，ann1，bn2n1，所以 Mnab1ab2ab3abna1a2a4a2n1(11)(21)(41)(2n11)(1242n1)n12n12 n2nn1，Mn2012，即 2nn12012，n10，故答案为 C.4在等差数列an中，若 a4a612，Sn 是数列an的前 n 项和，则 S9 的值为()A48 B54C60 D66答案 B解析 解法 1：a4a6a1a912，S99a1a92912254.解法 2：利用结论：S2n1(2n1)an，S99a59a4a62
3、54.5若一个等差数列的前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有()A13 项B12 项C11 项D10 项答案 A解析 依题意a1a2a334an2an1an146两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)180.a1ana2an1a3an2，a1an60.Snna1an2390，n13.6(2008北京)已知等差数列an中，a26，a515.若 bna2n，则数列bn的前 5 项和等于()A30 B45C90 D186答案 C解析 在等差数列an中，a5a23d1563dd3，bna2n，bn也为等差数列，其首项和公差分别为：b1a2
4、6，d2d6，S556542 690.7等差数列an中，Sn 是其前 n 项和，a12012，S20102010S200820082，则 S2012 的值为()A2010 B2010C2012 D2012答案 D解析 设 SnAn2Bn，则Snn AnB，S20102010S200820082A2，故 A1.又 a1S1AB2012，B2013.S20122012201220131.S20122012.8已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数 n 的个数是()A2 B3 C4 D5答案 D解析 由等差数列的性质可得a
5、nbna1a2n12b1b2n122n1a1a2n122n1b1b2n12A2n1B2n172n1452n13 14n382n2 7 12n1.当 n 取 1、2、3、5、11 时，符合条件二、填空题9等差数列an中，a18，a52，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是_答案 34解析 设数列an的公差为 d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列的公差为d2，又由 da5a151 285132，得d234.10(2010浙江理)设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和 Sn，满足 S5S6150，则 d 的取值范
6、围是_答案 d2 2或 d2 2解析 S55a1542 d5(a12d)S63(2a15d)S6S5150，即(a12d)(2a1d)10，整理：2a129a1d10d21081d242(10d21)0，即 81d280d280d28，d2 2或 d2 2.11(2011韶关月考)给定 81 个数排成如图所示的数表，若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数 a555，则表中所有数之和为_a11 a12 a19a21 a22 a29 a91 a92 a99答案 405解析 S(a11a19)(a91a99)9(a15a25a95)99a55405.三、解答题1
7、2(文)(2010新课标文)设等差数列an满足 a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值解析 本题考查了等差数列的通项公式和等差列的前 n 项和公式以及前 n 项和的最大值等知识，在解决问题时，要抓住等差数列的特征，认真运算题目难度不大，属于容易题，重在考查学生对基础知识的掌握(1)由已知 a35，a109 得a12d5，a19d9.可解得a19，d2.数列an的通项公式为 an112n.(2)由(1)知，Snna1nn12d10nn2.因为 Sn(n5)225，所以当 n5 时，Sn 取得最大值(理)已知等差数列an，a2
8、9，a521.(1)求an的通项公式；(2)令 bn2an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解析(1)设数列an的公差为 d，依题意得方程组a1d9，a14d21.解得 a15，d4.所以an的通项公式为 an4n1.(2)由 an4n1 得 bn24n1，所以bn是首项 b125，公比 q24 的等比数列于是得bn的前 n 项和Sn2524n12413224n115.13数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn14(an1)2 且 an0.(1)求 a1，a2；(2)求数列an的通项公式；(3)令 bn20an，问：数列bn的前多少项和最大？解析(1)a1S114(a11)2，a11，a1a
9、214(a21)2.a23.(2)当 n2 时，anSnSn114(an1)2(an11)214(an2an12)12(anan1)，由此得(anan1)(anan12)0.anan10，anan12.an是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列an2n1.(3)bn212n，b10，bn是递减函数，令bn212n0，bn1192n0，得192 n212.nN*，n10，即bn的前 10 项和最大14在数列an中，a13，an13an3n1(nN*)(1)设 bnan3n.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.分析 数列的递推公式经常在已知条件中给出，此类题只需利用累
10、加、累乘等方法求数列的通项及前 n 项和即可解析(1)an13an3n1，an13n1an3n1，得 bn1bn1，b1a13 1，数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列(2)由(1)易知，数列an3n是首项和公差均为 1 的等差数列，所以an3nn，ann3n.Sn131232(n1)3n1n3n，3Sn132232(n1)3nn3n1，两式相减，得 2Snn3n1(31323n)，故 Sn(n214)3n134.点评 对于由递推关系确定通项公式的问题，通常可对递推关系式进行变形，从而转化为等差或等比数列的问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型从此题可以看出，构造特殊数列以及对代数式
11、的灵活变形是处理此题的关键复习时要加强数列基础知识的掌握15已知数列an中，a11，且点 P(an，an1)(nN*)在直线 xy10 上(1)求数列an的通项公式；(2)若函数 f(n)1na11na21na31nan(nN*，且 n2)，求函数 f(n)的最小值；(3)设 bn1an，Sn 表示数列bn的前 n 项和试问：是否存在关于 n 的整式 g(n)，使得 S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在，写出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由解析(1)由点 P(an，an1)在直线 xy10 上，即 an1an1，且 a11，故
12、数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 an1(n1)1n.(2)f(n)1n1 1n2 1n3 12nf(n1)1n2 1n3 1n412n112n2f(n1)f(n)12n112n2 1n112n212n2 1n10.所以 f(n)是单调递增函数，故 f(n)的最小值是 f(2)712.(3)bn1n，可得Sn112131n，SnSn11n(n2)，n(SnSn1)1，nSn(n1)Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn212S2S1S11nSnS1S1S2S3Sn1n1S1S2S3Sn1nSnnn(Sn1)，n2.g(n)n，故存在关于 n 的整式 g(n)n，使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立点评 数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考的热点，要灵活结合有关知识求解本例中点在直线上，则点的坐标满足直线方程，求 f(n)最小值要考虑求最值的常用方法，数列中常用单调性求数列中的最值，等式恒成立问题则要建立恒成立的关系式
