1、第1讲 不等式的性质、一元二次不等式1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0.(2)abab0.(3)ababb_(双向性)(2)传递性：ab，bcac.(单向性)(3)可加性：abac_bc.(双向性)ab，cd_(单向性)(4)可乘性：ab，c0ac_bc；ab，cb0，cd0ac_bd.(单向性)bacbd3“三个二次”的关系 ax2bxc0)的解集 _ _ x|x1xx2 4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间)(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法 不等式解集 ab ab ab(xa)(xb)0 x|xa或xb _ _(xa)(xb)0 _ _ x|bxa
2、x|axb x|xax|xb或xa题组一 常识题1(教材改编)不等式(x2)(2x3)”“0，所以AB.【答案】3(教材改编)若不等式x22xm0的解集是，则实数m的取值范围为_【解析】x22xm0可化为x22xm0，bb，给出下列四个不等式：ac2bc2；c2ab，cbd；若 ab0，则3 a3 b；若 ab0，cd0，则adbc；若ab1，则 ab.其中正确说法的序号是_【解析】对于，ab，cd，acbd，正确；对于，ab0，3 a3 b0，正确；对于，cd0，cd0，ab0，cd0，acbd0，adbc，正确；对于，当 a2，b1 时，不正确故填.解答本题时，易出现对不等式性质掌握不熟而
3、造成的错误【答案】6 不 等 式(ax 1)(x 2)0(a0)的 解 集 是_【解析】不等式(ax1)(x2)0，解得x2.本题求解时，易忽视 a 的值为负数而造成错误【答案】xx2【答案】(，1)7已知存在实数 a 满足 ab2aab，则实数 b 的取值范围是_【解析】ab2aab，a0.当 a0 时，b21b，即b21，b1，解得 b1；当 a0 时，b21b，即b21，无解综上可得 b0 的解集为 R，则 m 的取值范围是_【解析】当 m0 时，10 显然成立 当 m0 时，由条件知m0，4m24m0，得 0m1.综上可知 0m1.本题求解时，易忽视二次项系数等于零而造成错误考点一 比
4、较大小与不等式的性质【例 1】(1)已知实数 a，b，c 满足 bc64a3a2，cb44aa2，则 a，b，c 的大小关系是()Acba BacbCcbaDacb(2)如果 a0，b0，那么下列不等式中正确的是()A.1a1bB.a bCa2b2D|a|b|【解析】(1)cb44aa2(a2)20，cb.又 bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1a122340，ba，cba.(2)A.如果 a0，b0，那么1a0，1b0，1a1b，故 A 正确；B取 a2，b1，可得 a b，故 B 错误；C取 a2，b1，可得 a2b2，故 C 错误；D取 a12，b1，可得|a|b|，故
5、 D 错误【答案】(1)A(2)A【反思归纳】跟踪训练1(1)(2019东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知 mR，ab1，f(x)m2xx1，则 f(a)与 f(b)的大小关系是()Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Cf(a)f(b)D不确定【解析】(1)a|b|能推出 ab，进而得 a3b3；当 a3b3时，有 ab，但若 ba0，则 a|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件，故选 A.(2)f(a)m2aa1，f(b)m2bb1，f(a)f(b)m2a
6、a1 m2bb1m2aa1 bb1 m2a（b1）b（a1）（a1）（b1）m2ba（a1）（b1），当m0时，f(a)f(b)；当m0时，m20，又ab1，f(a)f(b)综上，f(a)f(b)【答案】(1)A(2)C 考点二 一元二次不等式的解法【例2】解下列不等式：(1)32xx20.(2)x2(a1)xa0.【解析】(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3(2)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a，1)【互动探究】将(2)中不等式改为ax2(a1)x10，求
7、不等式的解集【解析】若 a0，原不等式等价于x11.若 a0，解得 x1.若 a0，原不等式等价于x1a(x1)0.当 a1 时，1a1，x1a(x1)1 时，1a1，解x1a(x1)0 得1ax1；当 0a1，解x1a(x1)0 得 1x1a.综上所述：当 a0 时，解集为xx1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x1x1 时，解集为x1ax0 的解集是x12x13，则不等式 x2bxa0 的解集是()A.x|2x3Bx|x2 或 x3C.x13x12D.xx13或x12【解析】(1)将原不等式移项通分得3x4x5 0，等价于（3x4）（x5）0，x50，解得 x43或 x
8、5.原不等式的解集为xx43或x5.(2)不等式 ax2bx10 的解集是x12x13，ax2bx10 的解是 x112和 x213，且 a0，1213ba，12 13 1a，解得a6，b5.则不等式 x2bxa0 即为 x25x60，解得 x2 或x3.【答案】(1)xx43或x5 (2)B考点三 一元二次不等式恒成立问题 角度1 形如f(x)0(xR)求参数的范围【例3】不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】当 a20，即 a2 时，不等式即为40，对一切 xR 恒成立，当 a2 时，则有a20，4（a2）216（a2）0，即a2，2a2，2a2
9、.综上，可得实数 a 的取值范围是(2，2【答案】(2，2角度 2 形如 f(x)0()xa，b 求参数的范围【例 4】设函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围【解析】要使 f(x)m5 在 x1，3上恒成立，即 mx12234m60 时，g(x)在1，3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，所以 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述：m 的取值范围是mm0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为
10、函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m67即可 所以 m 的取值范围是mm0 恒成立，即 g(k)(x2)k(x24x4)0，在 k1，1时恒成立 只需 g(1)0 且 g(1)0，即x25x60，x23x20，解得 x3.【答案】x|x3【反思归纳】跟踪训练3(1)关于x的不等式x2(m1)x(m1)0对一切xR恒成立，则实数m的取值范围为()A3，1B3，3 C1，1D1，3(2)已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A(1，0)B(2，)C(，1)(2，)D不能确定【解析】(1)关于x的不等式x2(m1)x(m1)0对一切xR恒成立，(m1)24(m1)(m1)(m3)0，解得1m3，实数m的取值范围为1，3 故选D.(2)由 f(1x)f(1x)知 f(x)的图象关于直线 x1 对称，即a21，解得 a2.又因为 f(x)开口向下，所以当 x1，1时，f(x)为增函数，所以 f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0 恒成立，即 b2b20 恒成立，解得 b1 或 b2.【答案】(1)D(2)C课时作业