1、高考资源网（） 您身边的高考专家浙江省暨阳联谊学校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1在ABC中，“sinA=1”是“ABC是直角三角形”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C必要充分条件D既不充分也不必要条件2设f（x），g（x）都是定义在R上的函数，则( )A若f（x），g（x）都是R上的增函数，则f（x）g（x）是R上的增函数B若f（x），g（x）都是R上的增函数，则f（x）+g（x）是R上的增函数C若f（x）g（x）是R上的增函数，则f（x），g（x）都是R上的增函数D若f（x）+g（x）是R上的增函数，则f（x），g（x）都是R上
2、的增函数3设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A48B40C32D164正实数数列an满足：a1=1，a9=7，且an+1=（nN+，n2）则a5=( )A4B3C16D95设I是直角ABC的内心，其中AB=3，BC=4，CA=5，若，则x+y=( )ABCD6设四边形EFGH的四条边长为a，b，c，d，其四个顶点分别在单位正方形ABCD的四条边上，则2a2+b2+2c2+d2的最小值为( )A3B6CD7双曲线r：（a0，b0）的左顶点为C，A为双曲线第一象限上的点，直线OA交双曲线于另一点B，双曲线左焦点为F，连结AF交BC延长线于D点若=3，则双曲线r的离心率等于( )A
3、2BC3D8实数x，y满足x2+y25，则3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值是( )A27+6B27C30D336二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9设全集U=R，集合A=x|，B=x|x2+x20，则CUB=_，AB=_，AB=_10在等差数列an中，若a4+a10=10，a6+a12=14，ak=13，则k=_；数列an的前n项和Sn=_11已知f（x）=2sinxcosxcos2x，若a（0，），且f（a）=1，则a=_；若x，则f（x）的值域是_12设区域内的点（x，y）满足 ，则区域的面积是_；若x，yZ，则2x+y的最大值是_13过抛物线C：y2=4x
4、的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是_14已知向量满足：|=|=|=2，则|的最大值为_15已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为216，则四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分的体积为_三、解答题（共5小题，满分74分）16在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（asinB）cosC=cosBsinC，c=1（）求C的大小；（）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时A，B的值17设f（x）=|xa|+a，x1，6，a（1，6）（）若a（1，2，求f（x）的单调区间；（）求f（x）的最小值18如图，已知等腰梯形ABCD中，ABC
5、D，AB=2CD=2AD，E为AB中点，现将ADE折起，使平面A1DE平面BCDE，P是DE中点，Q是A1B的中点（）求证：PQ平面A1CD；（）求二面角BPCQ的余弦值19已知椭圆C：=1（ab0）的短轴长为2，且2a，2b，3c成等比数列设F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与y轴右侧椭圆相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）求F2PQ面积的最小值20已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=2，Sn+2=2an，nN+，（）求an；（）求证+（）设b1，b2，b2015是数列a1，a2，a2015的任意一个排列，求（）的最大值，并
6、说明何时取到等号浙江省暨阳联谊学校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1在ABC中，“sinA=1”是“ABC是直角三角形”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C必要充分条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：从两个方向去判断：先看sinA=1能否得出ABC为直角三角形，再看ABC为直角三角形能否得出sinA=1，这样即可判断“sinA=1”是“ABC是直角三角形”的什么条件解答：解：（1）若sinA=1，则A=90；ABC是直角三角形；（2）若ABC是直角三角形，A不一定为90；得不到sinA
7、=1；“sinA=1”是“ABC是直角三角形”的充分不必要条件故选A点评：考查特殊角的三角函数值，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念2设f（x），g（x）都是定义在R上的函数，则( )A若f（x），g（x）都是R上的增函数，则f（x）g（x）是R上的增函数B若f（x），g（x）都是R上的增函数，则f（x）+g（x）是R上的增函数C若f（x）g（x）是R上的增函数，则f（x），g（x）都是R上的增函数D若f（x）+g（x）是R上的增函数，则f（x），g（x）都是R上的增函数考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：运用举反例和导数的运算法则，结合函数的单调性的性质，对选项一一
8、加以判断即可得到答案解答：解：对于A，比如f（x）=x，g（x）=2x，则f（x）g（x）=2x2不是R上的增函数，则A不对；对于B，若f（x），g（x）都是R上的增函数，则f（x）0，g（x）0，即有f（x）+g（x）的导数非负，则f（x）+g（x）是R上的增函数，则B对；对于C，比如f（x）=x，g（x）=x2，满足f（x）g（x）=x3是R上的增函数，但g（x）不是R上的增函数，则C不对；对于D，比如f（x）=x，g（x）=x，满足f（x）+g（x）是R上的增函数，但g（x）是R上的减函数，则D不对故选B点评：本题考查函数的单调性的判断，主要考查单调性的性质，注意运用举反例和导数的运算法
9、则是解题的关键3设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )A48B40C32D16考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：首先根据三视图，把平面图形转化成立体图形进一步根据几何体的体积公式求出结果解答：解：根据三视图得知：该几何体是长、宽、高为4、3、4的长方体去掉一个外边的左上角的三棱锥和去掉一个里边右上角的三棱锥的多面体，所以：该几何体的体积为：V=V长方体2V三棱锥=3442=4816=32故选：C点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图的关系，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和对知识的应用能力4正实数数列an满足：a1=1，a9=7，且a
10、n+1=（nN+，n2）则a5=( )A4B3C16D9考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由数列递推式得到数列an+1是等比数列，由等比数列的性质结合已知求得答案解答：解：由an+1=，得，即（nN+，n2），数列an+1是等比数列，则，an0，a5+1=4，则a5=3故选：B点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的性质，是中档题5设I是直角ABC的内心，其中AB=3，BC=4，CA=5，若，则x+y=( )ABCD考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：将三角形放入直角坐标系，利用向量法进行求解，利用面积法先求出I的坐标，然后利用向
11、量坐标之间的关系进行求解即可解答：解：将ABC放置于直角坐标系中，如右图所示，设内切圆的半径为r，则A（3，0）B（0，0）C（0，4）SABC=SABI+SBCI+SACI求得r=1=（3，0）+（1，1）=（2，1）=（3x3y，4y）3x3y=2，4y=1解得x=，y=x+y=故选：B点评：本题考查了平面向量的应用以及平面向量运算的坐标表示，同时利用面积相等是解题过程中的一个关键6设四边形EFGH的四条边长为a，b，c，d，其四个顶点分别在单位正方形ABCD的四条边上，则2a2+b2+2c2+d2的最小值为( )A3B6CD考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：不妨设EF=a，
12、FG=b，GH=c，HE=d，且设DG=x，GC=1x，CF=y，FB=1y，BE=z，AE=1z，AH=t，DH=1t由勾股定理和二次函数的最值求法：配方，即可得到最小值解答：解：不妨设EF=a，FG=b，GH=c，HE=d，且设DG=x，GC=1x，CF=y，FB=1y，BE=z，AE=1z，AH=t，DH=1t则2a2+b2+2c2+d2=2z2+（1y）2+y2+（1x）2+2x2+（1t）2+t2+（1z）2=2z2+（1z）2+y2+2（1y）2+2x2+（1x）2+t2+2（1t）2=3（z）2+3（y）2+3（x）2+3（t）2+，当x=z=，y=t=时，取得最小值，且为故选D
13、点评：本题考查直角三角形的勾股定理和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题7双曲线r：（a0，b0）的左顶点为C，A为双曲线第一象限上的点，直线OA交双曲线于另一点B，双曲线左焦点为F，连结AF交BC延长线于D点若=3，则双曲线r的离心率等于( )A2BC3D考点：双曲线的简单性质 专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（m，n），F（c，0），则B（m，n），设D（x，y），由题意可得C（a，0），运用向量的共线的坐标表示，可得m=3a+2x，再由两直线AF，BC求得交点的横坐标，化简整理，即可得到c=3a，由离心率公式计算即可得到解答：解：设A（m，n），F（c
14、，0），则B（m，n），设D（x，y），由题意可得C（a，0），由=3，可得mx=3（ax），即有m=3a+2x，直线AF的方程为y=（x+c），直线BC的方程为y=（x+a），可得（m+c）（x+a）=（ma）（x+c），代入m=3a+2x，可得（3a+2x+c）（x+a）=（2a+2x）（x+c），化简即为（x+a）（c3a）=0，即有x=a或c=3a，若x=a，则y=0，D与C重合，矛盾故只有c=3a，即有e=3故选C点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查直线方程和向量共线的坐标表示，属于中档题8实数x，y满足x2+y25，则3|x+y|+|4y+9|+|7y3
15、x18|的最大值是( )A27+6B27C30D336考点：绝对值三角不等式 专题：不等式的解法及应用分析：设x=rcos，y=rsin，0r5，0，2），所给的式子化为 27+3|x+y|+3（xy），分类讨论求得它的最大值解答：解：设x=rcos，y=rsin，0r5，0，2）则|4y|=4rsin49，|7y3x|=|7rsin3rcos| r18，|x+y|=|rsin（+）|=，3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|=3|x+y|+（4y+9）+（187y+3x）=27+3|x+y|+3（xy）当|x+y0时，27+3|x+y|+3（xy）=27+6x=27+6rcos27+6
16、，当|x+y0时，27+3|x+y|+3（xy）=27+6x=27+6rcos27+6，不妨假设xy，则27+3|x+y|+3（xy）=276y=276rcos27+6，故3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值是27+6，故选：A点评：本题主要考查三角代换，绝对值不等式的解法，去掉绝对值是解题的关键，属于中档题二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9设全集U=R，集合A=x|，B=x|x2+x20，则CUB=2，1，AB=（，2）（3，+），AB=（，1）（1，+）考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算 专题：集合分析：先解出集合A、B，然后根据集合的运
17、算求解即可解答：解：集合A=x|=（，1）（3，+），B=x|x2+x20=（，2）（1，+），又全集U=R，CUB=2，1，AB=（，2）（3，+），AB=（，1）（1，+），故答案为：CUB=2，1，AB=（，2）（3，+），AB=（，1）（1，+）点评：本题主要考查集合的运算，属于基础题10在等差数列an中，若a4+a10=10，a6+a12=14，ak=13，则k=15；数列an的前n项和Sn=考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：通过等差数列的性质可得a7、a9，从而可得通项及前n项和公式，计算即可解答：解：根据等差数列的性质可得：a7=5，a9=7，公
18、差d=1，首项a1=a76d=561=1，an=1+（n1）1=n2，Sn=，故答案为：15，点评：本题考查等差数列的基本性质，注意解题方法的积累，属于中档题11已知f（x）=2sinxcosxcos2x，若a（0，），且f（a）=1，则a=；若x，则f（x）的值域是考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用函数的值确定a的值，进一步利用函数的定义域求出函数的值域解答：解：f（x）=2sinxcosxcos2x=sin2xcos2x=若a（0，），且f（a）=1，则：，所
19、以：，解得：（kZ）由于：a（0，），所以：当k=0时，已知：，所以：，则：，则：，即：f（x）的值域为：故答案为：，点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的求值问题，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力12设区域内的点（x，y）满足，则区域的面积是8；若x，yZ，则2x+y的最大值是2考点：圆的一般方程；二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：作出区域的图形，利用线性规划知识的应用及圆的面积、直线方程中截距的几何意义，可求得答案解答：解：区域内的点（x，y）满足 ，即，则区域如图：由于方程为y=x+y+6与y=x的两直线均经
20、过（x+3）2+（y+3）2=16的圆心O（3，3），且两者垂直，阴影部分的面积为圆O面积的，即S阴影=42=8；（2）x，yZ，令z=2x+y，显然，当直线y=2x+z经过（1，0）时，z的值最大，即2x+y的最大值是2故答案为：8；2点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查线性规划的应用，突出考查作图能力，属于中档题13过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数
21、的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解解答：解：抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），设直线l方程为y=k（x1），由，消去x得设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=4|AF|=3|BF|，y1+3y2=0，可得y1=3y2，代入得2y2=，且3y22=4，消去y2得k2=3，解之得k=故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题14已知向量满足：|=|=|=2，则|的最大值为考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：分别用有向线段表示向量，根据
22、已知条件可知四边形ADBE为菱形，从而分别以该菱形的对角线DE，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设C（x，y），从而能求出向量的坐标，并表示出的坐标，从而根据即可得到x2+y2=2，所以y的范围2y2，从而根据的坐标即可表示出，根据y的范围即可求得的最大值解答：解：如图，作，并满足；连接EA，EB，则四边形ADBE为菱形；DEAB，且互相平分；分别以DE，BA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；则能求以下几点坐标：A（0，），D（1，0），B（0，）；设C（x，y），则：，；，；x2+y23=1；x2+y2=2；=，当y=时取“=”；|的最大值为故答案为：点评：考查向量
23、加法的平行四边形法则，菱形的概念，建立平面直角坐标系，通过向量坐标解决向量问题的方法，能正确确定点的坐标，以及数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度，以及完全平方式的运用15已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为216，则四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分的体积为36考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：由题意画出图形，得到四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分的形状，由棱锥体积公式得答案解答：解：如图所示，四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，摘出如图，设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a
24、bc=216，重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于故答案为：36点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题三、解答题（共5小题，满分74分）16在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（asinB）cosC=cosBsinC，c=1（）求C的大小；（）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时A，B的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC，结合正弦定理，可得sinC=cosC，从而可求C（）由余弦定理整理可得，利用基本不等式ab，可得，可求得，当且仅当a=b时取到等号，从而
25、可求取得最大值时A，B的值解答：解：（）cosBsinC（asinB）cosC=0，sinA=acosC，所以sinC=cosC，所以C=；（）a2+b2c2=2abcosC，所以，ab，代入可得：，所以当且仅当a=b时取到等号，所以取到最大值时A=B= 点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查17设f（x）=|xa|+a，x1，6，a（1，6）（）若a（1，2，求f（x）的单调区间；（）求f（x）的最小值考点：函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义 专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：（）运用绝对值的定义，将f（x）转化，讨论a（1，
26、2，函数f（x）在1，a上，在a，6上的单调性即可得到；（）讨论当1a2时，当2a6时，函数的单调性，即可得到最小值解答：解：（）首先f（x）=，因为当1a2时，f（x）在1，a上是增函数，在a，6上也是增函数所以当1a2时，y=f（x）在1，6上是增函数； （）当1a2时，由（）知，f（x）min=f（1）=2a5， 当2a6时，f（x）在1，2上是增函数，在2，a上是减函数，在a，6上是增函数 又f（1）=2a5，f（a）=a，且f（1）f（a）=a+50，解得4a6所以当2a4时，f（x）min=f（1）=2a5，当4a6时，f（x）min=f（a）=a综上可知，f（x）min=点评：本
27、题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调区间和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性的性质是解题的关键18如图，已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=2CD=2AD，E为AB中点，现将ADE折起，使平面A1DE平面BCDE，P是DE中点，Q是A1B的中点（）求证：PQ平面A1CD；（）求二面角BPCQ的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）取A1C的中点R，连接QR，DR，证明四边形PDQR是平行四边形，所以PQDR，即可证明PQ平面A1CD；（）连接A1P，BP，设M是PB的中点，连接QM，过M作MHPC，连
28、接QH，则QHM是二面角BPCQ的平面角，即可求二面角BPCQ的余弦值解答：（）证明：取A1C的中点R，连接QR，DR由题意知PDBC且PD=BC，QRBC且QR=BC，所以PDQR且PD=QR，即四边形PDQR是平行四边形，所以PQDR又PQ平面A1CD，DR平面A1CD，所以PQ平面A1CD（）解：连接A1P，BP，设M是PB的中点，连接QM因为A1PDE，平面A1DE平面BCD所以A1P平面BCDE又QMA1P，所以QM平面BCDE，过M作MHPC，连接QH，则QHM是二面角BPCQ的平面角，设CD=a，则A1P=a，所以QM=a，在四边形DECB中，因为BCCP，所以HMCB，又M是P
29、B中点，所以HM=所以HQ=a，所以cosQHM=所以二面角BPCQ的平面角的余弦值是 点评：本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题19已知椭圆C：=1（ab0）的短轴长为2，且2a，2b，3c成等比数列设F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与y轴右侧椭圆相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）求F2PQ面积的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过椭圆短轴长为2及2a，2b，3c成等比数列，计算可得椭圆方程；（）设直线MN的方程为
30、：x=ty+1 （t），代入+=1，利用韦达定理，三角形面积公式及换元法计算可得结论解答：解：（）因为，所以6ac=12，即ac=2，又a23=c2，所以a2=4，c2=1，所以椭圆C的方程是+=1；（）设直线MN的方程为：x=ty+1 （t），代入+=1化简得（3t2+4）y2+6ty9=0，y1+y2=，y1y2=，=144（t2+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），则：y=（x+1），令x=4，得P（4，），同理Q（4，），所以=3|=|=90|，令=，则1，），则=90，y=在1，）上是增函数，所以当=1，即t=0时，=点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到韦达定理等知
31、识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题20已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=2，Sn+2=2an，nN+，（）求an；（）求证+（）设b1，b2，b2015是数列a1，a2，a2015的任意一个排列，求（）的最大值，并说明何时取到等号考点：数列与不等式的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（）当n2时，运用an=SnSn1，再由等比数列的定义和通项公式，即可得到；（）运用裂项相消求和，由=，累加即可得证；（）由（ab+1）2=a2b2+2ab+1a2b2+a2+b2+1=（a2+1）（b2+1），所以ab+1，运用不等式的性质，即可得到最大值，当
32、且仅当ai=bi（i=1，2，2015）时取等号解答：解：（）当n2时，由，相减可得an=2an2an1，所以an=2an1，所以an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2n； （）证明：=即有+=+=； （）由（a1+）（a2+）（an+）=，又（ab+1）2=a2b2+2ab+1a2b2+a2+b2+1=（a2+1）（b2+1），所以ab+1，=当且仅当ai=bi（i=1，2，n）时取等号则（）的最大值为，当且仅当ai=bi（i=1，2，2015）时取等号点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式的求法，同时考查数列求和的方法：裂项相消求和，以及最值的求法，属于中档题和易错题高考资源网版权所有，侵权必究！
