1、易错点18 平面向量的基本定理及坐标表示一、单选题1. 如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE=AD+AB(,R)，则-等于A. -12B. 12C. 1D. -12. 如图，矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的三等分点，点F是线段BC的中点，则DE=A. 89DF-59ACB. 109DF-59ACC. -89DF+59ACD. -109DF+59AC3. 已知，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是A. k=-2B. k=12C. k=1D. k=-14. 设向量a=(m-2,m+3)，b=(2m+1,m-2)，若a与b的夹角大于90，则实数m
2、的取值范围是A. (-43,2)B. (-,-43)(2,+)C. (-2,43)D. (-,2)(43,+)5. 设a，b为非零向量，则“a/b”是“a与b方向相同”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知向量，则A. 22B. 5C. 2D. 47. 已知向量a=(-m,2)，b=(-3,m)，mR，则“m=-4”是“a(a+b)”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，在ABC中，已知AB=3，AC=23，BAC=，点D为BC的三等分点(靠近点C)，则ADBC的取值范围为A.
3、 (3,5)B. (5,53)C. (5,9)D. (5,7)二、填空题9. 已知向量a=(1,3),b=(-1,0)，则a+3b=_10. 在ABC中，若点D满足BD=2DC，AD=mAB+nAC，则m2-n2=_11. 已知ABC的三内角A、B、C所对边长分别为是a、b、c，设向量m=(a+b,sinC)，n=(3a+c,sinB-sinA)，若m/n，则角B的大小为_12. 已知a=(1,2)，b=(-3,2)，若ka+2b与2a-4b平行，则实数k=_三、解答题13. 已知向量a=cosx,sinx,b=3,-3,x0,(1)若a/b，求x的值；(2)记fx=ab，求函数y=f(x)的
4、最大值和最小值及对应的x的值14. 已知a=(2+sinx,1),b=(2,-2),c=(sinx-3,1),d=(1,k),(xR,kR)(1)若x-2,2，且a/(b+c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由15. 已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，m=(sinA,1)，n=(cosA,3)，且m/n(I)求角A的大小；(II)若a=2，b=22，求ABC的面积16. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知=(cosB,cosC),=(b,2a-c),且/(1)求B；(2)已知b=7，D为BC边上一点，且
5、BD=2DC，ABAD，求sinDAC一、单选题1. 如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE=AD+AB(,R)，则-等于A. -12B. 12C. 1D. -1【答案】D【解析】解：由DE=DA+AE=DA+14AC=-AD+14(AB+AD)=-34AD+14AB，所以=-34，=14，即-=-1，故选D2. 如图，矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的三等分点，点F是线段BC的中点，则DE=A. 89DF-59ACB. 109DF-59ACC. -89DF+59ACD. -109DF+59AC【答案】A【解析】解：解法一：依题意，DE=DA+13DC，DF=D
6、C+12DA，AC=DC-DA，由平面向量基本定理得DE=89DF-59AC，故选A解法二：以D为原点，DC、DA分别为x、y轴的正方向建系，设DC=a，DA=b，则E(a3,b)，F(a,b2)，A(0,b)，C(a,0)，由DE=1DF+2AC，有(a3,b)=1(a,b2)+2(a,-b)，有1+2=1312-2=1，解得1=89，2=-59，故选A3. 已知，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是A. k=-2B. k=12C. k=1D. k=-1【答案】C【解析】解：若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB与AC共线，因为AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)
7、=(1,2)，AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1)，所以1(k+1)-2k=0，解得k=1故选C4. 设向量a=(m-2,m+3)，b=(2m+1,m-2)，若a与b的夹角大于90，则实数m的取值范围是A. (-43,2)B. (-,-43)(2,+)C. (-2,43)D. (-,2)(43,+)【答案】A【解析】解：由a与b的夹角大于90，则两个向量的夹角的余弦值小于0，即ab0，所以(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)0，整理得3m2-2m-80，解得m(-43,2)；故选：A5. 设a，b为非零向量，则“a/b”是“a与b方向相同”的A. 充分而不
8、必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：对于非零向量a，b，由a/b可得：a与b方向相同或相反，反之，a与b方向相同a/b，则“a/b”是“a与b方向相同”的必要而不充分条件故选：B6. 已知向量，则A. 22B. 5C. 2D. 4【答案】B7. 已知向量a=(-m,2)，b=(-3,m)，mR，则“m=-4”是“a(a+b)”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：向量a=(-m,2),b=(-3,m)，其中mR，m=-4时，a=(4,2)，b=(-3,-4)a+b=(1
9、,-2)，a(a+b)=4-4=0，“m=-4”“a(a+b)”；向量a=(-m,2)，b=(-3,m)，其中mR，a+b=(-3-m,m+2)，a(a+b)，a(a+b)=3m+m2+2m+4=0，解得m=-4或m=-1，“a(a+b)”“m=-1或m=-4”“m=-4”是“a(a+b)”的充分而不必要条件故选A8. 如图，在ABC中，已知AB=3，AC=23，BAC=，点D为BC的三等分点(靠近点C)，则ADBC的取值范围为A. (3,5)B. (5,53)C. (5,9)D. (5,7)【答案】C【解析】解：由点D 为BC 的三等分点(靠近点C)，则AD=AC+CD=AC+13CB=AC
10、+13(AB-AC)=13AB+23AC，又BC=AC-AB，所以ADBC=13(AB+2AC)(AC-AB)=13(2AC2-ABAC-AB2)=13(212-323cos-3)=7-2cos，(0,)，cos(-1,1)，7-2cos(5,9)，即ADBC(5,9)，故选C二、填空题9. 已知向量a=(1,3),b=(-1,0)，则a+3b=_【答案】7【解析】解：向量a=(1,3)，b=(-1,0)，a+3b=(1,3)+3(-1,0)=(-2,3)，a+3b=-22+(3)2=7故答案为：710. 在ABC中，若点D满足BD=2DC，AD=mAB+nAC，则m2-n2=_【答案】-13
11、【解析】解：由BD=2DC，AD=mAB+nAC，所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC-AB=13AB+23AC所以m=13,n=23，m2-n2=-13故答案为-1311. 已知ABC的三内角A、B、C所对边长分别为是a、b、c，设向量m=(a+b,sinC)，n=(3a+c,sinB-sinA)，若m/n，则角B的大小为_【答案】56【解析】解：因为m/n，所以(a+b)(sinB-sinA)-sinC(3a+c)=0，由正弦定理有(a+b)(b-a)=c(3a+c)，即a2+c2-b2=-3ac，所以由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-32，又B(0,)，B=
12、56故答案为：5612. 已知a=(1,2)，b=(-3,2)，若ka+2b与2a-4b平行，则实数k=_【答案】-1【解析】解：因为a=(1,2)，b=(-3,2)，所以ka+2b=k1,2+2-3,2=k-6,2k+4，2a-4b=21,2-4-3,2=14,-4，因为ka+2b与2a-4b平行，所以k-6-4-2k+414=0，解得k=-1故答案为-1三、解答题13. 已知向量a=cosx,sinx,b=3,-3,x0,(1)若a/b，求x的值；(2)记fx=ab，求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值【答案】解：(1)因为，b=(3,-3)，a/b，所以若，则，与矛盾，故co
13、sx0于是又，所以x=56；因为，所以x+66,76，从而于是，当x+6=6，即x=0时，f(x)取到最大值3；当x+6=，即x=56时，f(x)取到最小值-2314. 已知a=(2+sinx,1),b=(2,-2),c=(sinx-3,1),d=(1,k),(xR,kR)(1)若x-2,2，且a/(b+c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)b=(2,-2)，c=(sinx-3,1)，b+c=(sinx-1,-1)，a/(b+c)，-(2+sinx)=sinx-1，2sinx=-1,sinx=-12,x-2,2,x=-6(2)
14、a+d=(3+sinx,1+k)，b+c=(sinx-1,-1)若(a+d)(b+c)，则(a+d).(b+c)=0，即(3+sinx)(sinx-1)-(1+k)=0，所以k=sin2x+2sinx-4=(sinx+1)2-5，因为-1sinx1，所以-5k-115. 已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，m=(sinA,1)，n=(cosA,3)，且m/n(I)求角A的大小；(II)若a=2，b=22，求ABC的面积【答案】解：(1)因为m/n，所以3sinA=cosA，tanA=33，(2)由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=22，B=4或34当时，sinC=s
15、in(6+4)=2+64，此时SABC=12absinC=122222+64=1+3；当时，此时SABC=12absinC=122226-24=3-1故ABC的面积的面积为1+3或3-116. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知=(cosB,cosC),=(b,2a-c),且/(1)求B；(2)已知b=7，D为BC边上一点，且BD=2DC，ABAD，求sinDAC【答案】解：(1)m/n，(2a-c)cosB-bcosC=0，由正弦定理得：2sinAcosB-sinCcosB-sinBcosC=0，即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，sinA0，2cosB=1，B(0,)，B=3(2)设DC=x，BD=2x，则AB=x，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB，即49=x2+(3x)2-3x2，x=7，DC=7,在ADC中，由正弦定理得，即，
