1、课时作业1已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m
2、(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0，mt1，满足，得l方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点2设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方
3、程为x2y22.(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.3.如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N，证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值解：(
4、1)设F(c,0)，因为b1，所以c，直线OB方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B.又直线OA的方程为yx，则A，kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21，(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M；直线l与直线x的交点为N.则.因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，即所求定值为.4(2019长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M，点F为抛物线C：ymx2(m0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分(1)求m的值；(2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由解：(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为，线段MF的中点N在抛物线C上，m.8m22m10，m.(2)由(1)知抛物线C：x24y，F(0,1)设直线l的方程为yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24kx8k20，16k24(8k2)0，k或k.由根与系数的关系得假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1k32k2.而k1k3，k2，8k210k30，解得k(符合题意)或k(不合题意，舍去)直线l的方程为y(x2)，即x2y10.
