1、规范练2(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2022湖南常德一模)设各项非负的数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=an+12-n(nN*),且a2,a3,a5成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)若bn=an+12an,求数列bn的前n项和Tn.2.(12分)(2022河北石家庄一模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acos C-asin C=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求BC边上的中线AD长度的最小值.3.(12分)(2022湖北武汉模拟)某社区拟对该社区内8 000人进行核酸检测,现有以下两种核酸检测方案:方案一:4人一组,采样混合后
2、进行检测;方案二:2人一组,采样混合后进行检测.若混合样本检测结果呈阳性,则对该组所有样本全部进行单独检测;若混合样本检测结果呈阴性,则不再检测.(1)某家庭有6人,在采取方案一检测时,随机选2人与另外2名邻居组成一组,余下4人组成一组,求该家庭6人中甲、乙两人被分在同一组的概率;(2)假设每个人核酸检测结果呈阳性的概率都是0.01,每个人核酸检测结果相互独立,分别求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望,以较少检测次数为依据,你建议选择哪种方案?(附:0.9920.98,0.9940.96)4.(12分)(2022广东汕头二模)如图所示,C为半圆锥顶点,O为圆锥底面圆心,BD为底面直
3、径,A为弧BD的中点,BCD是边长为2的等边三角形,弦AD上存在点E使得二面角E-BC-D为30,且AE=tAD.(1)求t的值;(2)对于平面ACD内的动点P总有OP平面BEC,请指出点P的轨迹,并陈述该轨迹上任意点P都可使得OP平面BEC的理由.规范练21.解 (1)当n=1时,2a1=a22-1.当n2时,2Sn=an+12-n,2Sn-1=an2-(n-1),-得2an=an+12-an2-1,即an+12=an2+2an+1=(an+1)2.an0,an+1=an+1,数列an从第2项起是公差为1的等差数列,an=a2+n-2(n2).又a2,a3,a5成等比数列,a32=a2a5,
4、即(a2+1)2=a2(a2+3),解得a2=1.an=1+n-2=n-1(n2),2a1=a22-1,a1=0,适合上式,数列an的通项公式为an=n-1(nN*).(2)bn=n2n-1,数列bn的前n项的和为Tn=120+221+322+n-12n-2+n2n-1,12Tn=121+222+323+n-12n-1+n2n,-得12Tn=1+12+122+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-12n-1-n2n=2-n+22n,Tn=4-n+22n-1.2.解 (1)因为3acos C-asin C=3b,所以3sin Acos C-sin Asin C=3sin B.因为A
5、+B+C=,所以3sin Acos C-sin Asin C=3sin(A+C)=3(sin Acos C+cos Asin C),所以-sin Asin C=3cos Asin C.因为sin C0,所以tan A=-3.因为A(0,),所以A=23.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos23,所以4=b2+c2+bc.因为AD为BC边上的中线,所以AD=12(AB+AC),所以|AD|2=AD2=14(AB+AC)2=14(c2+b2-bc).由得b2+c2=4-bc,代入得|AD|2=1-12bc,由得4-bc=b2+c22bc,所以bc43,当且仅当b2+c2+b
6、c=4,b=c,即b=c=233时,等号成立,代入得|AD|2=1-12bc13,当且仅当b=c=233时,等号成立,所以AD33,AD长度的最小值为33.3.解 (1)记该家庭6人中甲、乙两人被分在同一组为事件A,则P(A)=C22+C42C62=715.(2)每个人核酸检测结果呈阳性的概率为0.01,则每个人核酸检测结果呈阴性的概率为0.99.若选择方案一,记小组4人的检测次数为1,则1的可能取值为1,5,其分布列为115P0.9941-0.994E(1)=10.994+5(1-0.994)=5-40.9941.16,于是得对该社区内8 000人进行核酸检测的总次数X1的数学期望为E(X1
7、)2 0001.16=2 320.若选择方案二,记小组2人的检测次数为2,则2的可能取值为1,3,其分布列为213P0.9921-0.992E(2)=10.992+3(1-0.992)=3-20.9921.04,于是得对该社区8 000人进行核酸检测的总次数X2的数学期望为E(X2)4 0001.04=4 160.显然E(X1)E(X2),所以建议选择方案一.4.解 (1)易知OC平面ABD,OABD,以OD,OA,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(-1,0,0),D(1,0,0),C(0,0,3),BC=(1,0,3),AD=(1,-1,
8、0),BA=(1,1,0),BE=BA+AE=BA+tAD=(1,1,0)+t(1,-1,0)=(1+t,1-t,0).易知平面BCD的一个法向量为OA=(0,1,0),设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z),则nBC=x+3z=0,nBE=(1+t)x+(1-t)y=0,令x=1,则平面BCE的一个法向量为n=1,t+1t-1,-33,可得cos 30=|OAn|OA|n|=t+1t-112+t+1t-12+-332=32,解得t=13或t=3.又点E在弦AD上,故t=13.(2)点P的轨迹为过AD靠近点D的三等分点及CD中点的直线.理由如下:取AD靠近点D的三等分点,即DE的中点M,取CD的中点N,连接MN,OM,ON.由O为BD的中点,易知ONBC.又ON平面BEC,BC平面BEC,所以ON平面BEC.又MNEC,MN平面BEC,CE平面BEC,所以MN平面BEC.又ONMN=N,所以平面OMN平面BEC,即O和MN所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC.又MN平面ACD,故点P的轨迹即MN所在直线,
