1、第 12 章 第 10 节 一、选择题1两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的均值 EX 是()A.23 B.34 C.13 D.14答案 A解析 X12P4919所以均值 EX1492196923.2某一离散型随机变量 的概率分布列如下表，且 E1.5，则 ab 的值()0123P0.1ab0.1A.0.1 B0 C0.1 D0.2答案 B解析 0.1ab0.1100.1a2b30.11.5 a0.4b0.4，故 ab0.3(2010新课标理)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为
2、 X，则 X 的数学期望为()A100 B200 C300 D400答案 B解析 本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等记“不发芽的种子数为”，则 B(1 000,0.1)，所以 E1 0000.1100，而 X2，故 EXE(2)2E200，故选 B.4节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价每束 5 元节后卖不出的鲜花以每束 1.6 元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花 500 束，则期望利润是()200300400500P0.200.350.300.15A.706 元 B690 元C754 元 D720
3、 元答案 A解析 节日期间预售的量：E2000.23000.354000.35000.154010512075340(束)则期望的利润：51.6(500)5002.53.4450.E3.4E4503.4340450706(元)期望利润为 706 元5若 是离散型随机变量，P(x1)23，P(x2)13，且 x1x2，又已知 E43，D29，则 x1x2 的值为()A.53 B.73C3 D.113答案 C解析 由期望和方差的计算公式得x123x21343，(x143)223(x243)21329，即2x1x24，2(x143)2(x243)223.由得 x242x1，代入得 6(x143)22
4、3.解得 x153，x232或 x11，x22.又 x1x2 x11，x22.x1x23.6一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标以数 2，将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是()A.29 B.19C.49 D.536答案 C解析 两次向上数之积为随机变量 X：0、1、2、4.P(X0)1121234，P(X1)131319，P(X2)C21131619，P(X4)1616 136.EX0341192194 13649.7随机变量 X 的分布列如下X101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，若 EX13则 DX 的值是()A.19 B
5、.59C.23 D.34答案 B解析 由已知abc1ac2b1a0b1c13解得a16b13c12DX(113)216(013)213(113)21259.8已知随机变量 X 的分布列为X123P0.5xy若 EX158，则 DX 等于()A.3364 B.5564C.732 D.932答案 B解析 由分布列的性质得 xy0.5，又 EX158，所以 2x3y118，解得 x18，y38，所以 DX1158212215821831582385564.二、填空题9篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球 2 次(每次罚球结果互不影
6、响)得分的均值是_答案 1.4解析 设得分为变量 X，则其概率分布列为X012P0.090.420.49则 EX00.0910.4220.491.4.10(2009上海理)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E 为_(结果用最简分数表示)答案 47解析 本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力由题意，的可能取值为 0,1,2，则 P(0)C52C721021，P(1)C51C21C72 1021，P(2)C22C72 121.的分布列为012P10211021121 的数学期望 E0
7、1021110212 121122147.11抛掷一枚硬币，正面向上记 1 分，反面向上记 2 分，若一共抛出硬币 4 次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分 X 的期望 EX_.答案 6解析 抛掷 4 次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正，其中对应的分数分别为 8、7、6、5、4 所以 X 的取值为 4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为 P1、P2、P3、P4、P5，则X45678PP1P2P3P4P5P1C44 124 116，P2C43 1231214，P3C42 122 12238，P4C41 12 12314，P5C40 124 116，EX4
8、1165146387148 1166.三、解答题12(2010福建理)设 S 是不等式 x2x60 的解集，整数 m，nS.(1)记“使得 mn0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；(2)设 m2，求 的分布列及其数学期望 E.分析 解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换解析(1)由 x2x60 得2x3，即Sx|2x3由于 m，nZ，m，nS 且 mn0，所以 A 包含的基本事件为：(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于 m 的所有不同取值为
9、2，1,0,1,2,3，所以 m2 的所有不同取值为 0,1,4,9.且有 P(0)16，P(1)2613，P(4)2613，P(9)16.故 的分布列为：0149P16131316所以 E016113413916196.13(2009浙江理)在 1,2,3，9 这 9 个自然数中，任取 3 个数(1)求这 3 个数中恰有 1 个数是偶数的概率；(2)记 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为 1,2,3，则有两组相邻的数 1,2和 2,3，此时 的值是 2)求随机变量 的分布列及其数学期望 E.解析 本小题主要考查排列组合、随机事件的概率和随机变量分布列、数学期望等概念，同时考查
10、抽象概括能力(1)记“这 3 个数中恰有一个是偶数”为事件 A，则P(A)C41C52C93 1021.(2)随机变量 的取值为 0,1,2，的分布列是012P51212112所以 的数学期望E0 5121122 11223.14(2010浙江理)如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落到 A 或 B 或 C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为 1,2,3 等奖(1)已知获得 1,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随机变量 为获得 k(k1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量 的
11、分布列及期望 E；(2)若有 3 人次(投入 1 球为 1 人次)参加促销活动，记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P(2)分析 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列，数学期望、二项分布等概念，考查抽象概括、运算求解能力和应用意识；一般思路：分析本题属于哪种事件解析(1)由题意得 的分布列为50%70%90%P31638716则 E 31650%3870%71690%34.(2)由(1)可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 31638 916.由题意得 B(3，916)，则 P(2)C32(916)2(1 916)17014096.点评 关键该事件属于哪种基本事件，
12、根据事件的求概率公式进一步得出，在求分布列时一定要注意概率和为 1，求期望、方差时可根据公式直接求出15某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望解析 考查相互独立事件的概率乘法及二项分布(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A.因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为P(A)113 11
13、3 13 427.(2)由题意可得，可能取的值为 0,2,4,6,8(单位：min)事件“2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到 k 次红灯”(k0,1,2,3,4)，所以P(2k)C4k 13k 234k(k0,1,2,3,4)即 的分布列是02468P16813281827881181所以 的期望是 E01681232814 8276 8818 18183.教师备课平台 一、解排列、组合应用题的常用方法排列、组合应用题是本板块在高考中的一个热点，题目内容涉及排队、组数、集合、几何、涂色、分配等各种实际问题，常用的方法有特殊优先法、间接法、捆绑法、插空法、隔板法等1特殊优先法解带有附加条件的
14、排列应用题，常存在特殊元素或特殊位置，对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先按排，再去满足其他元素或其他位置，针对实际问题有时“元素优先”，有时“位置优先”例 1 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？解析 方法一：首先把“1”排在个数上，而“0”不能放在十万位上，这时有 4A44 种排法，然后分别把“3”、“5”排在个位上，情况与“1”类似，都有 4A44 种排法，于是，共有34A44288(个)六位奇数方法二：先排个位数，从 1,3,5 中任选一个，有 A31 种排法，再排十万位，因 0 不能排，故有 A41 种排法，最后排中间四位数，有 A44 种排
15、法，于是有 A31A41A44288(个)六位奇数2间接法对于某些排列问题的正面情况较复杂，而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数例 2 五个人站一排，甲不站排头，乙不站排尾，总共有多少种不同的站法？解析 五个人的全排列有 A55 种，其中甲在排头的有 A44 种，乙在排尾的有 A44 种，但在分别计算时重复了甲在排头且乙在排尾的排列共有 A33 种，因此符合条件的排列有 A552A44A3378 种3捆绑法与插空法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑在一起，看作一个“大元素”，再与其他元素进行排列，注意“大元素”内部也要排列，对于某些元素需要间
16、隔的排列问题，可先排列无限制条件的元素，再在间隔或两端插入不相邻的元素，注意分清楚“谁插谁”例 3 八个人坐成一排，求满足下列条件的排列各有多少种？(1)甲、乙二人必须坐在一起；(2)甲、乙、丙三人不能相邻解析(1)把甲、乙看作一个整体，与其余 6 人排列，相当于 7 个人全排列，有 A77 种排法，再考虑甲、乙二人的 A22 种排法，共有 A77A2210080 种不同的坐法(2)先将除甲、乙、丙三人之外的五人排好，有 A55 种排法，再在 5 个人的 4 个空里和两端共 6 个位置排甲、乙、丙三人，有 A63 种排法，所以共有 A55A6314400 种排法4隔板法对于较难的排列组合问题，
17、可运用对应的思想方法，构造一个数学模型，使得这个数学模型与原问题存在着某种对应关系，通过解答数学模型来得到原问题的解例 4 某校准备组建一个 18 人的足球队，这 18 人由高一年级的 10 个班的同学组成，每个班级至少 1 人，名额分配方案共有多少种？解析 构造一个如图的隔板模型，取 18 枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17 个间隙中选取 9 个插入隔板，将 18 枚棋子分隔成 10 个区间，第 i(1i10)个区间的棋子数对应第 i 个班级学生的名额，因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，因隔板插入方法数为 C179，故名额分配方案有 C17924310 种二、分类整合思想
18、与转化思想对于复杂的问题，可以确定一个合理的分类标准，将其简单化，注意“起点”的寻求和“层次”的划分，做到起点讨论合理自然，层次划分明确清晰、不重不漏，转化的思想就是将待解决的问题，通过某种转化(或简单化或熟悉化或具体化或正难则反)，归结为一类已经解决或容易解决的问题例 5 如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足 a1a2 且 a301212k254k0，即k1或k4k0又因为 k1,2，所以1k0，因为 k 的取值区间的长度为 3，而使得过 A 可以作两条直线与圆相切的 k 的取值区间的长度为 1.由几何概型的计算公式得所求概率 P13.(文)例 4 街道旁边有一游戏：在铺满边长为 9c
19、m 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为 1cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交 5 角钱若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交 5 角钱可玩一次；若压在塑料板的顶点上，可获一元钱，试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析 小圆板中心用 O 表示，考虑 O 落在 ABCD 的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD 的边相交，及 O 落在哪个范围时能使小圆板压在塑料板 ABCD 的顶点上(1)如图所示，因为 O 落在正方形 ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料ABCD 的边相交是在小圆板的中心 O 到与它靠近的
20、边的距离不超过 1 时，所以 O 落在图(1)中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板 ABCD 的边相交因此，区域是边长为 9cm 的正方形，图中阴影部分表示事件 A：“小圆板压在塑料板的边上”于是 S 正9981，S 阴997732.故所求概率 P(A)S阴S正3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交是在中心 P 到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1时，如图(2)所示阴影部分，图中阴影部分表示事件 B：“小圆板压在塑料板顶点上”于是 S正9981，S 阴12.故所求的概率 P(B)S阴S正 81.五、事件概率的求法熟练地求出事件的概率，是进一步求分布列、期望、方差的基础本章中条件概率、独立
21、重复试验恰好发生 k 次的概率是高考的热点，求解过程中，要注意先判断概率类型，以便准确应用概率加法公式、乘法公式和除法公式例 9 甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品，乙箱的产品中有 4 个正品和 3 个次品(1)从甲箱中任取 2 个产品，求这 2 个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率解析(1)从甲箱中任取 2 个产品的事件数为C82872 28，这 2 个产品都是次品的事件数为 C323.这 2 个产品都是次品的概率为 328.(2)设事件 A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件 B1 为“从甲箱
22、中取出 2 个产品都是正品”，事件 B2 为“从甲箱中取出 1 个正品 1 个次品”，事件 B3 为“从甲箱中取出 2 个产品都是次品”，则事件 B1、事件 B2、事件 B3 彼此互斥P(B1)C52C82 514，P(B2)C51C31C82 1528，P(B3)C32C82 328，P(A|B1)23，P(A|B2)59，P(A|B3)49，P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)51423152859 32849 712.(文)例 5 在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为 0.9、0.8
23、、0.85.则在一天内(1)三台设备都需要维护的概率是多少？(2)恰有一台设备需要维护的概率是多少？(3)至少有一台设备需要维护的概率是多少？解析 设甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为 A、B、C，则P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.85.(1)三台设备都需要维护的概率P1P(A B C)P(A)P(B)P(C)(10.9)(10.8)(10.85)0.003.(2)恰有一台设备需要维护的概率P2P(ABC)P(A B C)P(AB C)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329.(3)三台设备都不需要维护的概率是P3P(A
24、BC)P(A)P(B)P(C)0.90.80.850.612.至少有一台设备需要维护的概率P41P30.388.六、求离散型随机变量的分布列及均值利用求分布列来考查事件概率的求法、随机变量概念的理解，从而进一步考查学生解决实际问题的能力是高考中考查本章内容最常用的方法在具体解答中，关键是明确随机变量取值的意义及正确求解相应概率，同时对特殊的分布要注意辨认例 10 盒中装有 8 个乒乓球，其中 6 个没有用过的，2 个是用过的(1)从盒中任取 2 个球使用，求恰好取出 1 个用过的球的概率；(2)若从盒中任取 2 个球使用，用完后装回盒中，此时盒中用过的球的个数 X 是一个随机变量，求随机变量 X 的分布列及 EX.解析(1)设恰好取出一个用过的球的概率为 P，则 PC21C61C82 37.(2)随机变量 X 的可能取值为 2,3,4.X2 表示取出了两个用过的球P(X2)C22C82 128.X3 表示取出了一个用过的球，一个没用过的球，P(X3)C21C61C82 37.X4 表示取出了两个没用过的球P(X4)C62C821528.X 的分布列为X234P128371528EX2 1283374152872.
