1、22.4均值不等式及其应用第一课时均值不等式新课程标准解读核心素养1.掌握均值不等式及推导过程数学抽象、逻辑推理2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小逻辑推理、数学运算3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值逻辑推理、数学运算如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？知识点均值不等式1算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值2均值不等式如果a，b都是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立
2、均值不等式的常见变形ab2；ab. 3重要不等式对任意实数a，b，有a2b22ab，当且仅当 ab时，等号成立1均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式2均值不等式成立的条件“a，b0”能省略吗？请举例说明提示：不能，如是不成立的1下列结论正确的有_(填序号)对任意a，bR，a2b22ab均成立；若a0，b0且ab，则ab2；若a0，b0，则ab；a，b同号时，2.答案：2不等式(x2y)2成立的前提条件为_解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x2y0，即x2y.答案：x2y对均值不等式的理解例1给出下面三个推导过程：a，b为正实数
3、，22；aR，a0，a2 4；x，yR，xy0，22.其中正确的推导为( )ABC D解析a，b为正实数，为正实数，符合均值不等式的条件，故的推导正确；aR，a0，不符合均值不等式的条件，a2 4是错误的；由xy0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确答案B1均值不等式(a0，b0)反映了两个正数的和与积之间的关系2对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是正数；(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab. 跟踪训练下列不等式的推导过程正确的是_若x1，则x2 2；若x0，
4、则x2 4；若a，bR，则2 2.解析：中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x时，即当x1时，x2等号成立，因为x1，所以x2，中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件答案：利用均值不等式比较大小例2(1)已知a，b(0，)，则下列各式中不一定成立的是( )Aab2 B.2C.2 D.(2)已知a，b，c是两两不相等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_解析(1)由得ab2，A成立；22，B成立；2，C成立；，D不一定成立(2)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac.pq.答案(
5、1)D(2)pq1在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab. 跟踪训练如果0ab1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是( )APQM BMPQCQMP DMQP解析：选B显然，又因为，所以.故MPQ.利用均值不等式证明不等式例3(链接教科书第75页例6)已知ab，b0，c0，且abc1.求证：8.证明因为a，b，c(0，)，abc1，所以1，同理1，1.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立利
6、用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；(2)注意事项：多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用 跟踪训练已知a，b都是正实数，且ab2，求证：(12a)(1b)9.证明：因为a，b都是正实数，且ab2，所以2ab24，所以(12a)(1b)12ab2ab52ab549.即(12a)(1b)9.1对于任意a，bR，下列不等式一定成立的是( )A. Ba2C.2 D.2解析：选DA选项，当a0，且b0时不成立；B选项，当a0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立故选D.2设ab0，则下列不等式中一定成立的是( )Aab0 B01C.ab解析：选Cab0，由均值不等式知一定成立3不等式(x2)6(其中x2)中等号成立的条件是( )Ax3 Bx3Cx5 Dx5解析：选C由均值不等式知等号成立的条件为x2，即x5(x1舍去)4已知x0，则yx2的最小值是_解析：x0，0，y22，当且仅当x，即x时等号成立答案：226
