1、课时跟踪检测(二十八)双曲线及其标准方程A级基础巩固1已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|MF2|2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B根据双曲线的定义，乙甲，但甲/ 乙，只有当2a0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为()A2a2m B4a2mCam D2a4m解析：选B由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1
2、的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.4(多选)已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中正确的是()A当1t4或t1时， 曲线C表示双曲线C若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t4解析：选BCDA错误，当t时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)0，t4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10，1t4.5已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：选B设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则c，即a2b25.设P
3、(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0，2)，可知得即点P的坐标为(，4)，代入双曲线方程，得1.联立，得a21，b24，即双曲线的标准方程为x21.故选B.6设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为_解析：由双曲线的标准方程1得a2，b.由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.答案：107经过点P(3，2)和Q(6，7)的双曲
4、线的标准方程是_解析：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.10如图，在ABC中，已知|AB|4，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B
5、，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)B级综合运用11设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2，|y0|1.又y1，x3(y1)6.(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.12已知P为双曲线1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为PF1F2的内心若SPMF1SPMF28，则MF1F2的
6、面积为()A2 B10C8 D6解析：选B设PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a4，b3，c5.因为SPMF1SPMF28，所以(|PF1|PF2|)R8，即aR8，所以R2，所以SMF1F22cR10.故选B.13已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1，与x轴的两个交点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交 B相切C相离 D以上情况都有可能解析：选B设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，双曲线的右焦点为F2.若P在双曲线左支，如图所示，则|Q1Q2|PF2|(|PF1|2a)|PF1|
7、ar1r2，即圆心距为半径之和，两圆外切若P在双曲线右支，同理求得|Q1Q2|r1r2，此时两圆相内切综上，两圆相切，故选B.14.如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程解：法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得|MA|MB|PA|PB|2|AB|4.曲线C是以A，B为焦点的双曲线则c2，2a2，a22，b2c2a22.故曲线C
8、的方程为1.法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得|MA|MB|PA|PB|AB|4.曲线C是以A，B为焦点的双曲线设双曲线的方程为1(a0，b0)，则有解得故曲线C的方程为1.C级拓展探究15如图，P是双曲线1上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形(焦点三角形)若F1PF2，求证SPF1F2.证明：在PF1F2中因F1PF2，则由双曲线的定义及余弦定理得，|PF1|PF2|2a|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos |F1F2|24c2，由得2|PF1|PF2|(1cos )4c24a2，则|PF1|PF2|.又SPF1F2|PF1|PF2|sin ，从而SPF1F2b2.
