1、第九章 直线、平面、简单几何体第讲（第二课时）11.设P为正三角形ABC所在平 面 外 一 点 PA=PB=PC，APB=BPC=CPA=90，M、N分别是AB和PC的中点，求异面直线PM与BN所成的角.题型4 求异面直线所成的角2解：连结MC，取其中点D，连结ND，则所以BND为所求的角.连结BD，设正三角形ABC的边长为a.由已知，APB，BPC，APC都是等腰直角三角形，所以PM=易知3DN=.又CM=，所以DM=.在RtBMD中，在BND中，故异面直线PM与BN所成的角为 .4点评：求异面直线所成的角的关键是作辅助线来平移直线，化为同一平面内两直线所成的角.一般根据中点可作中位线平移直
2、线，或由平行四边形的性质平移直线，然后利用解三角形的有关知识求得夹角.5如图，在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明：ADD1F；(2)求AE与D1F所成的角.解：(1)证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AD平面DCC1D1.又DF1平面DCC1D1，所以ADD1F.6(2)取AB的中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以又所以，故四边形GFD1A1是平行四边形，所以A1GD1F.7设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点，所以 RtA1AGRtABE,所以GA1A=EAB,从而A1
3、HA=90,即直线AE与D1F所成的角为90.8 2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为8，异面直线AB1和BC1所成的角为a r c cos，求这个正三棱柱的侧棱长.题型4 异面直线夹角条件的转化解：连结B1C交BC1于D点，则D为B1C的中点.取AC的中点E，连结DE，则所以BDE为异面直线AB1和BC1所成的角或其补角.9设正三棱柱的侧棱长为x.因为正三棱柱的底边长为8，则BE=8sin60=，所以在BDE中，BE2=BD2+DE2-2BDDEcosBDE.10若cosBDE=，则解得x=6.若cosBDE=，则x=.故这个正三棱柱的侧棱长为6或 .点评：已知角度求边长问题，一般
4、是结合方程思想来解决，即先设边长为参数，然后根据题中条件转化为参数方程(组)，再解方程(组)，即可求得边长的值.注意方程的解与边长的值的实际意义.11如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=1.将四边形AEFD沿EF折起到AEFD的位置，使异面直线EB和DF所成的角为60.求证：点A在平面ABCD内的射影O恰好在BC边上.12证明：因为AEDF，所以AEB为异面直线EB和DF所成的角，知AEB=60.因为BE=1，AE=AE=2，连结 AB，则在AEB中，AB2=AE2+BE2-2 A EBEcos60=3，13所以AB2+BE2=AE2，所以ABEB.又EBBC
5、，所以EB平面ABC，所以平面ABC平面ABCD.据两平面垂直的性质，知点A在平面ABCD内的射影O在BC边上.141.求异面直线所成的角大致可分四个步骤进行：找出或作出异面直线所成的角(或其补角)构造三角形解三角形，即求角的某个三角函数值小结.2.作异面直线所成的角要用连线的办法，先定位再定性，一般不要直接作平行线.添加的辅助线要尽可能位于背景图形“内部”，并在解题过程中加以说明.153.用余弦定理解三角形，若出现所求角的余弦值为负值，则异面直线所成的角要取其补角转化为锐角.4.若已知异面直线所成的角的大小，求解其他问题，则先应找出或作出异面直线所成的角，再通过解三角形将其转化为边的关系.16
