1、第二章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列说法不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D平面ABCDAD，显然选项D不正确，故选D.答案：D2.设a，b是两条直线，是两个
2、平面，若a，a，b，则内与b相交的直线与a的位置关系是()A平行B相交C异面 D平行或异面解析：因为a，a，b，所以ab.又因为a与无公共点，所以内与b相交的直线与a异面答案：C3.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为()A30 B45C60 D90解析：连接EG，B1G，B1F，则：A1EB1G，故B1GF为异面直线A1E与GF所成的角由AA1AB2，AD1可得B1G，GF，B1F，B1F2B1G2GF2，B1GF90，即异面直线A1E与GF所成的角为90.答案：D4.下列四个正方体图形中，A
3、，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是() A BC D解析：如图所示：平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP，故正确中易证NPAB，故AB平面MNP.不正确答案：B5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD
4、，但B1D1和AC不平行，故B错误ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故C错误故选D.答案：D6设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有()A1条 B2条C3条 D4条解析：如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30，直线AC，AB都满足条件，故选B.答案：B7.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B.C. D.解析：取正三角形ABC的中心O，连结OP，则PAO是P
5、A与平面ABC所成的角因为底面边长为，所以AD，AOAD1.三棱柱的体积为()2AA1，解得AA1，即OPAA1，所以tanPAO，即PAO.答案：B8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1a，棱柱的高A1Oa(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为，故选B.答案：B9在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的平面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：取AC
6、的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，AC，其余各棱长都为1，ADCD，EFCD.又BFCD，BFE是二面角ACDB的平面角EF，BE，BF，EF2BE2BF2.BEF90，cosBFE，故选C.答案：C10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：如图，设ABa，则AA12a，三棱锥CBDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为.因为VCBDC1VC1BDC，即aaha22a，解得ha.所以sin.答案：A11如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平
7、面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：易知：BCD中，DBC45，BDC90，又平面ABD平面BCD，而CDBD，CD平面ABD，ABCD，而ABAD，AB平面ACD，平面ABC平面ACD.答案：D12已知平面平面，l，在l上取线段AB4，AC、BD分别在平面和平面内，且ACAB，DB AB，AC3，BD12，则CD的长度为()A13 B.C12 D15解析：如图，连接AD.，AC，DB，在RtABD中，AD.在RtCAD中，CD13.答案：A二、填空题：本
8、大题共4小题，每小题5分，共20分13已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ平面AB1D，则线段PQ长为_解析：连接AB1，AD1，因为点P是平面AA1D1D的中心，所以点P是AD1的中点，因为PQ平面AB1，PQ平面AB1D1，平面AB1D1平面AB1AB1，所以PQAB1，所以PQAB1.答案：14在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)解析：由直四棱柱可知CC1面A1B1C1D1，所以CC1B1D1，要使B1
9、D1A1C，只要B1D1平面A1CC1，所以只要B1D1A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件答案：B1D1A1C1(答案不唯一)15.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1上的距离的最小值为_解析：如图，过点E作EE1平面A1B1C1D1，交直线B1C1于点E1，连接D1E1，DE，在平面D1DEE1内过点P作PHEE1交D1E1于点H，连接C1H，则C1H即为点P到直线CC1的距离当点P在线段D1E上运动时，点P到直线CC1的距离的最小值为点C1到线段D1E1的距离，即为C1D1E1的边D1E1上的高
10、h.C1D12，C1E11，D1E1，h.答案：16将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；说法正确的命题序号是_解析：如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正确设正方形的边长为a，则AECEa.由知AEC90是直二面角ABDC的平面角，且AEC90，ACa，ACD是等边三角形，故正确由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE45，所以不正确答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说
11、明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，正四棱锥SABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长的倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)F为SD中点，若SD平面PAC，求证：BF平面PAC.证明：(1)连接SO，四边形ABCD为正方形，ACBD且O为AC中点，又SASC，SOAC，又SOBDO，AC平面SBD，又SD平面SBD，ACSD.(2)连接OP，SD平面ACP，OP平面ACP，OPSD，又SBD中，BDaSB，且F为SD中点，BFSD，因为OP、BF平面BDF，所以OPBF，又OP平面ACP，BF平面PAC，BF平面PAC.18(本小题
12、满分12分)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC.(2)BCSA.证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又因为EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又因为AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，
13、所以BC平面SAB.又因为SA平面SAB，所以BCSA.19(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值解析：(1)证明：PA平面ABCD，PABDPC平面BDE，PCBD.BD平面PAC.(2)设AC与BD交点为O，连接OE.PC平面BDE，PCOE.又BO平面PAC，PCBO，PC平面BOE，PCBE，BEO为二面角BPCA的平面角BD平面PAC，BDAC，四边形ABCD为正方形，BO.在PAC中，OE，tanBEO3，二面角BPCA的
14、平面角的正切值为3.20(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解析：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1，又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1面ABC，OA1为三棱柱ABCA
15、1B1C1的高又SABCABOC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.21(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)证明：ADC1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积解析：(1)证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC，又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1，由可得AD平面BB1C1C，因为点E在棱BB1上运动得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直
16、线AC与C1E所成的角，所以A1C1E60，因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E，故C1E2，又B1C12，所以B1E2，从而VC1A1B1ESA1B1EA1C12.22(本小题满分12分)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面FB1C1E与直线AA1的交点(1)证明：EFA1D1；BA1平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值解析：(1)证明：由ADBC，BCB1C1可得ADB1C1，又B1C
17、1平面AA1D1D，AD平面AA1D1D，B1C1平面AA1D1D，又平面B1C1E平面AA1D1DEF，B1C1EF，又A1D1B1C1，EFA1D1.在RtFA1B1和RtA1B1B中，RtFA1B1RtA1B1B，A1FB1BA1B1，A1FB1A1B1F90，BA1B1A1B1F90，A1BB1F，由ADAB可得B1C1A1B1，又B1C1BB1，B1C1平面A1B1B，又A1B平面A1B1B，可得BA1B1C1，又BA1B1F，且B1FB1C1B1，BA1平面B1C1EF.(2)设A1BB1FO，连接C1O，由(1)可知BC1与平面B1C1EF所成的角为BC1O，在RtA1B1B中，BBBOBA1，即22BO，解得BO，sinBC1O，BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为.
