1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 5 月联考试题（甲卷）文（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|lg(x2)0，b0
2、)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线 l 与 C 的两支分别交于点 A，B，若|AB|4a，22AF BF0，则双曲线 C 的离心率为 A.2 B.3 C.5 D.85 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若变量 x，y 满足约束条件2xy3xy0 xy4 ，则 zx2y5 的最小值为 。14.曲线 y3ex 12x2在点(0，3)处的切线方程为 。15.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，d2，设 bnnn 111SS，则数列bn的前 n项和 Tn为 。16.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBCa，AA12a，E，F
3、 分别是 AD1，C1D 的中点，则下列四个结论中成立的是 。(写出对应的序号)EB1/平面 BC1D；cosDC1B 45；DF32a；长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球表面积为 6a2。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知 a(2cosC)c(2cosBcosA)。(I)求 cosC；(II)若 SABC 8 33，sinCsin(AB)2sin2B，求 c
4、。18.(12 分)目前，我国大学生、白领和工薪阶层是网购人数最多的群体，一项调查显示女性网民成为网络购物的活跃人群，网购用户年龄大多集中在 1835 岁，月收入集中在 15003500 元。网购大额产品的用户中，男性多于女性；收入更高的用户，网购金额和频率更高；3545 岁的网民，在各年龄段的用户中网络购物频率和金额最高。若全年网购超过 40 次定义为热衷于网购，现对某市网民进行“热衷网购与性别分布”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为 200 的样本，其中热衷网购的占比 34。(I)请根据图表中的数据，完成 22 列联表，并根据列联表判断是否有 99.9%的把握认为热衷于网购与性别有
5、关？(II)若在热衷网购网民中按照分层抽样的方法抽取的 5 名网民，再从中随机抽取 2 名网民，求这 2 人中恰有 1 人为男性的概率。参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，nabcd。附表：19.(12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACBC 12AA13，E 是 AB 的中点。(I)证明：ECAB；(II)求四棱锥 C1A1B1EA 的体积。20.(12 分)已知椭圆 E：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，若1 2AF FS 3，sinAF1F2 12。(I)求 E 的标准方程；(II)若直线 l
6、交 E 于 P，Q 两点，设 PQ 中点为 M，O 为坐标原点，|PQ|2|OM|，过点 O 作 ONPQ，求证：|ON|为定值。21.(12 分)已知函数 f(x)exsinxax(aR)，g(x)excosx。(I)当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间；(II)若函数 F(x)f(x)g(x)在(2，)上有两个极值点，求实数 a 的取值范围。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x1 ty1t (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2(3sin2)12。(I)求直线 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；(II)若直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，P 为曲线 C 上的动点，若PAB 的面积最大值为 S，求S 的值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)3|x2|xm|(xR)，不等式 f(x)3 的解集为(1，n)。(I)求 m，n 的值；(II)若三个实数 a，b，c，满足 abcm。证明：(bc)2(a2bc)2(ab2c)2 4m3。
