1、12.4直接证明与间接证明1直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或_法(2)分析法：一般地，从要证明的_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的_归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推证法或_法(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2间接证明反证法：一般地，假设原命题_(即在原命题的条件下，结论_)，经过_，最后得出_这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设
2、矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾因此说明假设_，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法自查自纠1(1)推理论证成立由因导果(2)结论充分条件结论执果索因2不成立不成立正确的推理矛盾错误 ()设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab1Cab1 D.1ab解：ab1(ab)故选B. 设0x1，则a，b1x，c中最大的一个是()Aa BbCc D不能确定解：因为bc(1x)0，所以b2x0，所以b1xa，所以abab，则实数a，b应满足的条件是()Aab0 Babb Da0，b0，且ab解：(ab)(ab)(ab)()0，a0，b0，且ab.
3、故选D. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_解：由反证法证明的步骤知，先反设，即，再推出矛盾，即，最后作出判断，肯定结论，即，顺序应为.故填. 命题“a，b是实数，若(b1)20，则ab1”，用反证法证明时应假设_解：ab1表示a1且b1，故其否定是a1，或b1.故填a1，或b1.类型一直接证明已知a，b，cR，求证：.证明一：采用分析法要证，只需证：，只需证：3(a2b2c2)a2
4、b2c22ab2bc2ca，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证：(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立(当且仅当abc时等号成立)证明二：采用综合法a，b，cR，(ab)2(bc)2(ca)20，2(a2b2c2)2(abbcac)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，(当且仅当abc时等号成立)【点拨】分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述已知：a0，b0，ab1.求证：2.证明：要证2，只需证ab24，又ab1，故只需证1，
5、只需证ab(ab)1，只需证ab.a0，b0，1ab2，ab，故原不等式成立(当且仅当ab时取等号)类型二间接证明在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b，c三边的倒数成等差数列求证：Ba，bc.所以，相加得，这与矛盾，所以假设不成立因此B0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1，由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0得0a1；同理，0b1，所以ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2bB，只需Cb，a0”是P，Q，R同时大于零的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不
6、充分又不必要条件解：若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P，Q，R不同时大于零，则P，Q，R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，即abc，bca，两式相加得b0，Q0，R0.故选C.5()设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy解：取x1.6，y2.7，则x1.61，y2.72，2x3.23，x1.62，故A，B错误；xy1.62.74，故C错故选D.6若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)nf，则称f(
7、x)为D上的凹函数，现已知f(x)tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanAtanBtanC的最小值是()A3 B. C3 D.解：根据f(x)tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanAtanBtanC3tan3tan3.故所求的最小值为3.故选C.7()设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解：若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，若ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立
8、，故a，b中至少有一个大于1.故填.8()某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|1，用分析法证明|xy|1xy|”估计污损部分的文字内容为_解：要证|xy|1xy|，需证(xy)2(1xy)2，化简得x2y21x2y2，(x21)(1y2)0，因为|x|1，又要证的不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y|1”故填|y|1.9已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解：(1)证明：ab0，ab.f(x)在R上单调递增，f(a)f(b)同理，ab0baf(b)f(a)两式相加
9、即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.该命题成立，下面用反证法证之假设ab0，那么：ab0abf(a)f(b)，ab0baf(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故ab0.逆命题得证10已知a，b是不等正数，且a3b3a2b2，求证：1aba2abb2得(ab)2ab，又ab0，ab1.要证ab，即证3(ab)0，只需证明3(ab)24(ab)，又aba2abb2，即证3(ab)20.因为a，b是不等正数，故(ab)20成立故ab成立综上，得1ab2c2b.求证：(1)a0且32c2b，a0，b2c2b得3.(2)假设函数f(x)在区间(0，2)内没有零点f(1)0矛盾，函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点 是否存在常数C，使不等式C对任意正数x，y恒成立？试证明你的结论解：令xy1，得C，若存在满足题意的常数C，则C.下面证明C时，题设不等式恒成立x0，y0，要证，只需证3x(x2y)3y(2xy)2(2xy)(x2y)，即证x2y22xy，此式显然成立.再证.同理，只需证3x(2xy)3y(x2y)2(x2y)(2xy)，即证x2y22xy，这显然成立.综上所述，存在常数C，使得不等式C对任意正数x，y恒成立
